Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 + 4 × 5 est une somme : c'est la somme de 9 et du produit de 4 par 5.
D = 3 × 4² − 17 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 4 et 17.
E = 3 × (9 − 8) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 9 et 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 66 = 198 ≤ 199 < 201 = 3 × 67 : le quotient est 66, le reste 199 − 198 = 1.
199 = 3 × 66 + 1, avec 1 < 3.
21 × 29 = 609 ≤ 623 < 630 = 21 × 30 : le quotient est 29, le reste 623 − 609 = 14.
623 = 21 × 29 + 14, avec 14 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 124 = 9 × 13 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 124 = 9 × 12 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 124 = 9 × 14 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 13, reste 7.
Comme 7 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 124 par 13 : quotient 9, reste 7.
3. 263 = 7 × 37 + 4
a) 263 jours font 37 semaines complètes et 4 jours.
Après 37 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 4 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 263 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 742 | oui | non | non | non | non |
| 321 | non | oui | non | non | non |
| 1 071 | non | oui | non | oui | non |
| 695 | non | non | oui | non | non |
| 1 510 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
3 742 → 3 + 7 + 4 + 2 = 16 321 → 3 + 2 + 1 = 6 1 071 → 1 + 0 + 7 + 1 = 9
695 → 6 + 9 + 5 = 20 1 510 → 1 + 5 + 1 + 0 = 7
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 1 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 351.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 120 est un multiple de 8. » Vrai. 120 = 8 × 15 : le reste de la division de 120 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 27 + 2 × 6 = 27 + 12 = 39
B = 49 ÷ 7 × 3 = 7 × 3 = 21
C = (6 + 9) × 4 − 12 = 15 × 4 − 12 = 60 − 12 = 48
D = [6 + 6 × (9 − 2)] ÷ 2 = [6 + 6 × 7] ÷ 2 = [6 + 42] ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (7 + 6) + 8 = 5 × 13 + 8 = 65 + 8 = 73
(8 + 6) × 6 − 8 = 14 × 6 − 8 = 84 − 8 = 76
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 × 26 + 17 × 74 = 17 × (26 + 74) = 17 × 100 = 1 700
F = 5 × 51 × 20 = 5 × 20 × 51 = 100 × 51 = 5 100
G = 31 × 11 = 31 × (10 + 1) = 31 × 10 + 31 × 1 = 310 + 31 = 341
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 11 × 11 = 11²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 72 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 72 < 81 = 9²)
121 = 11² : carré 143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²)
144 = 12² : carré 150 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 150 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 7 = 2 × 9 − 7 = 18 − 7 = 11
B = (2 × 3)² − 7 = 6² − 7 = 36 − 7 = 29
C = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
D = (3 + 1)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 8 = 3 × 4² − 8 = 3 × 16 − 8 = 48 − 8 = 40
B = (3x)² − 8 = (3 × 4)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36 : 6 × 6 = 36, c'est-à-dire 6² = 36.
a) Le côté mesure 6 m.
4 × 6 = 24
b) Le périmètre est de 24 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 186 et 233. » → encore 46 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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