Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (20 + 25) ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9
B = 20 + 25 ÷ 5 = 20 + 5 = 25
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 17 + 18 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 17 et du quotient de 18 par 6.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = (8 + 3) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 8 et 3 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 98 = 784 ≤ 789 < 792 = 8 × 99 : le quotient est 98, le reste 789 − 784 = 5.
789 = 8 × 98 + 5, avec 5 < 8.
27 × 91 = 2 457 ≤ 2 471 < 2 484 = 27 × 92 : le quotient est 91, le reste 2 471 − 2 457 = 14.
2 471 = 27 × 91 + 14, avec 14 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 366 = 11 × 34 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 366 = 11 × 33 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 366 = 11 × 32 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 33, reste 3.
Comme 3 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 366 par 33 : quotient 11, reste 3.
3. 189 = 20 × 9 + 9
En 9 soirs, elle lit 180 pages ; il lui en reste encore 9.
a) Il lui faut 9 + 1 = 10 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 9 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 452 | oui | non | non | non | non |
| 7 371 | non | oui | non | oui | non |
| 605 | non | non | oui | non | non |
| 6 670 | oui | non | oui | non | oui |
| 231 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
2 452 → 2 + 4 + 5 + 2 = 13 7 371 → 7 + 3 + 7 + 1 = 18 605 → 6 + 0 + 5 = 11
6 670 → 6 + 6 + 7 + 0 = 19 231 → 2 + 3 + 1 = 6
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 6 + 9 + □ = 15 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 15 ; □ = 6 : 21
2 solutions : 690, 696.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 333, somme des chiffres 9.
« 136 est un multiple de 8. » Vrai. 136 = 8 × 17 : le reste de la division de 136 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 44 − 6 × 5 = 44 − 30 = 14
B = 15 ÷ 3 × 2 = 5 × 2 = 10
C = (8 × 7 − 8) ÷ 2 = (56 − 8) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24
D = [3 + 5 × (9 − 4)] ÷ 2 = [3 + 5 × 5] ÷ 2 = [3 + 25] ÷ 2 = 28 ÷ 2 = 14
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × 6 − (5 + 7) = 9 × 6 − 12 = 54 − 12 = 42
(7 + 5 × 7) × 3 = (7 + 35) × 3 = 42 × 3 = 126
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 85 × 25 = 4 × 25 × 85 = 100 × 85 = 8 500
F = 4,5 × 1,3 + 4,5 × 8,7 = 4,5 × (1,3 + 8,7) = 4,5 × 10 = 45
G = 40 × 101 = 40 × (100 + 1) = 40 × 100 + 40 × 1 = 4 000 + 40 = 4 040
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 0,4 × 0,4 = 0,4² 2 × 2 × 2 = 2³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« (2 + 5)² = 2² + 5² » Faux. (2 + 5)² = 7² = 49, alors que 2² + 5² = 4 + 25 = 29.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
36 = 6² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
105 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 105 < 121 = 11²) 134 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 134 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 9 = 4 × 36 − 9 = 144 − 9 = 135
B = (4 × 6)² − 9 = 24² − 9 = 576 − 9 = 567
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : (n + 3)² = (2 + 3)² = 5² = 25
Pour n = 0,5 : (n + 3)² = (0,5 + 3)² = 3,5² = 12,25
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 66 :
8² = 64 ≤ 66 et 9² = 81 > 66.
a) Elle mettra 8 dalles sur chaque côté.
66 − 64 = 2
b) Il lui restera 2 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 134 et 198. » → encore 63 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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