Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
B = (2 × 3)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = 5² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 7.
E = 2 × (13 − 8) est un produit : c'est le produit de 2 par la différence entre 13 et 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 45 = 360 ≤ 364 < 368 = 8 × 46 : le quotient est 45, le reste 364 − 360 = 4.
364 = 8 × 45 + 4, avec 4 < 8.
15 × 86 = 1 290 ≤ 1 296 < 1 305 = 15 × 87 : le quotient est 86, le reste 1 296 − 1 290 = 6.
1 296 = 15 × 86 + 6, avec 6 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 172 = 12 × 15 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 172 = 12 × 14 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 172 = 12 × 13 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 14, reste 4.
Comme 4 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 172 par 14 : quotient 12, reste 4.
3. 91 = 6 × 15 + 1, avec 1 < 6
a) Elle remplit 15 boîtes pleines.
b) Il reste 1 œuf.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 655 | non | non | oui | non | non |
| 1 820 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 034 | oui | non | non | non | non |
| 381 | non | oui | non | non | non |
| 5 157 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
655 → 6 + 5 + 5 = 16 1 820 → 1 + 8 + 2 + 0 = 11 7 034 → 7 + 0 + 3 + 4 = 14
381 → 3 + 8 + 1 = 12 5 157 → 5 + 1 + 5 + 7 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 3 + 4 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 8 : 15
2 solutions : 342, 348.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 972, somme des chiffres 18.
« 6 est un diviseur de 110. » Faux. 110 = 6 × 18 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 29 + 5 × 8 = 29 + 40 = 69
B = 3 × 9 − 2 × 2 = 27 − 4 = 23
C = (9 + 3) × 2 − 15 = 12 × 2 − 15 = 24 − 15 = 9
D = [2 + 3 × (12 − 3)] ÷ 2 = [2 + 3 × 9] ÷ 2 = [2 + 27] ÷ 2 = 29 ÷ 2 = 14,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 − 4 + 3) × 3 = (4 + 3) × 3 = 7 × 3 = 21
7 × (7 − 2 − 3) = 7 × (5 − 3) = 7 × 2 = 14
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 22 × 5 = 2 × 5 × 22 = 10 × 22 = 220
F = 36 × 63 + 36 × 37 = 36 × (63 + 37) = 36 × 100 = 3 600
G = 39 × 99 = 39 × (100 − 1) = 39 × 100 − 39 × 1 = 3 900 − 39 = 3 861
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 11 × 11 = 11² 6 × 6 × 6 = 6³ 0,7 × 0,7 = 0,7²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 13 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 13 < 16 = 4²)
49 = 7² : carré 74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 122 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 122 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 5 = 5 × 9 − 5 = 45 − 5 = 40
B = (5 × 3)² − 5 = 15² − 5 = 225 − 5 = 220
C = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
D = (2 + 1)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 2 : a² + 2a = 2² + 2 × 2 = 4 + 2 × 2 = 4 + 4 = 8
Pour a = 10 : a² + 2a = 10² + 2 × 10 = 100 + 2 × 10 = 100 + 20 = 120
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
2 × 2 = 4
a) Il faut 4 carreaux le long d'un côté.
4 rangées de 4 carreaux : 4² = 4 × 4 = 16
b) Il faut 16 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 35 et 74. » → encore 38 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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