Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 4) × 8 = 9 × 8 = 72
B = 5 + 4 × 8 = 5 + 32 = 37
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2² + 1² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 1.
D = 5 × (12 − 6) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 12 et 6.
E = 11² − 4 est une différence : c'est la différence entre le carré de 11 et 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 114 = 798 ≤ 799 < 805 = 7 × 115 : le quotient est 114, le reste 799 − 798 = 1.
799 = 7 × 114 + 1, avec 1 < 7.
24 × 89 = 2 136 ≤ 2 152 < 2 160 = 24 × 90 : le quotient est 89, le reste 2 152 − 2 136 = 16.
2 152 = 24 × 89 + 16, avec 16 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 175 = 13 × 13 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 13. ✔
(b) 175 = 13 × 12 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 175 = 13 × 14 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 13, reste 6.
Comme 6 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 175 par 13 : quotient 13, reste 6.
3. 129 = 15 × 8 + 9
En 8 soirs, elle lit 120 pages ; il lui en reste encore 9.
a) Il lui faut 8 + 1 = 9 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 9 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 644 | oui | non | non | non | non |
| 215 | non | non | oui | non | non |
| 4 887 | non | oui | non | oui | non |
| 6 040 | oui | non | oui | non | oui |
| 411 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
8 644 → 8 + 6 + 4 + 4 = 22 215 → 2 + 1 + 5 = 8 4 887 → 4 + 8 + 8 + 7 = 27
6 040 → 6 + 0 + 4 + 0 = 10 411 → 4 + 1 + 1 = 6
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 9 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 549.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 53 se termine par 3, mais 53 = 3 × 17 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 4 est un diviseur de 93. » Faux. 93 = 4 × 23 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 20 + 4 × 5 = 20 + 20 = 40
B = 5 × 6 − 2 × 3 = 30 − 6 = 24
C = (4 × 5 − 8) ÷ 2 = (20 − 8) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6
D = 3 × [36 − (6 + 2)] = 3 × [36 − 8] = 3 × 28 = 84
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 + 9 × (4 + 7) = 2 + 9 × 11 = 2 + 99 = 101
(9 + 3) × 6 × 2 = 12 × 6 × 2 = 72 × 2 = 144
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 90 × 50 = 2 × 50 × 90 = 100 × 90 = 9 000
F = 18 × 85 − 18 × 75 = 18 × (85 − 75) = 18 × 10 = 180
G = 30 × 99 = 30 × (100 − 1) = 30 × 100 − 30 × 1 = 3 000 − 30 = 2 970
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 2 × 2 × 2 = 2³ 4 × 4 = 4²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²) 27 = 3³ : cube
61 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 61 < 64 = 8²) 112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 7 = 5 × 16 − 7 = 80 − 7 = 73
B = (5 × 4)² − 7 = 20² − 7 = 400 − 7 = 393
C = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
D = (5 + 1)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 5 = 3 × 5² − 5 = 3 × 25 − 5 = 75 − 5 = 70
B = (3x)² − 5 = (3 × 5)² − 5 = 15² − 5 = 225 − 5 = 220
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 48 et 105. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81, 100.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.