Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 4 + 14 ÷ 2 = 4 + 7 = 11
B = (4 + 14) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (8 + 12) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 8 et 12 par 4.
D = 2 × (17 − 8) est un produit : c'est le produit de 2 par la différence entre 17 et 8.
E = 7² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 7 et de 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 193 = 965 ≤ 967 < 970 = 5 × 194 : le quotient est 193, le reste 967 − 965 = 2.
967 = 5 × 193 + 2, avec 2 < 5.
20 × 19 = 380 ≤ 391 < 400 = 20 × 20 : le quotient est 19, le reste 391 − 380 = 11.
391 = 20 × 19 + 11, avec 11 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 279 = 7 × 40 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 279 = 7 × 39 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 279 = 7 × 38 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 39, reste 6.
Comme 6 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 279 par 39 : quotient 7, reste 6.
3. 46 = 7 × 6 + 4
a) 46 jours font 6 semaines complètes et 4 jours.
Après 6 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 4 jours : mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 46 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 575 | non | non | oui | non | non |
| 2 007 | non | oui | non | oui | non |
| 2 734 | oui | non | non | non | non |
| 9 950 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
141 → 1 + 4 + 1 = 6 575 → 5 + 7 + 5 = 17 2 007 → 2 + 0 + 0 + 7 = 9
2 734 → 2 + 7 + 3 + 4 = 16 9 950 → 9 + 9 + 5 + 0 = 23
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 5 = 13 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 5 : 18 ; □ = 8 : 21
3 solutions : 825, 855, 885.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 6 est un diviseur de 125. » Faux. 125 = 6 × 20 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 59 − 4 × 7 = 59 − 28 = 31
B = 10 + 63 ÷ 9 × 2 = 10 + 7 × 2 = 10 + 14 = 24
C = (12 + 11) × 3 − 8 = 23 × 3 − 8 = 69 − 8 = 61
D = [8 + 7 × (9 − 5)] ÷ 5 = [8 + 7 × 4] ÷ 5 = [8 + 28] ÷ 5 = 36 ÷ 5 = 7,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (7 × 4 + 6) = 4 × (28 + 6) = 4 × 34 = 136
9 × 8 × (5 − 3) = 9 × 8 × 2 = 72 × 2 = 144
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 0,7 + 3,6 × 0,3 = 3,6 × (0,7 + 0,3) = 3,6 × 1 = 3,6
F = 20 × 99 = 20 × (100 − 1) = 20 × 100 − 20 × 1 = 2 000 − 20 = 1 980
G = 33 + 5,05 + 67 = 33 + 67 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 8 × 8 = 8² 3 × 3 × 3 = 3³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
44 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 44 < 49 = 7²) 55 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 55 < 64 = 8²)
100 = 10² : carré 121 = 11² : carré
125 = 5³ : cube 132 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 132 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 5 = 4 × 4 − 5 = 16 − 5 = 11
B = (4 × 2)² − 5 = 8² − 5 = 64 − 5 = 59
C = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
D = (5 + 6)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 6 = 4 × 3² − 6 = 4 × 9 − 6 = 36 − 6 = 30
B = (4a)² − 6 = (4 × 3)² − 6 = 12² − 6 = 144 − 6 = 138
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 79 :
8² = 64 ≤ 79 et 9² = 81 > 79.
a) Elle mettra 8 dalles sur chaque côté.
79 − 64 = 15
b) Il lui restera 15 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 187 et 232. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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