Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 11 − 3 × 2 = 11 − 6 = 5
B = (11 − 3) × 2 = 8 × 2 = 16
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 18 + 28 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 18 et du quotient de 28 par 4.
D = 9 × (12 − 10) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 12 et 10.
E = 53 − 7 × 7 est une différence : c'est la différence entre 53 et le produit de 7 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 99 = 693 ≤ 696 < 700 = 7 × 100 : le quotient est 99, le reste 696 − 693 = 3.
696 = 7 × 99 + 3, avec 3 < 7.
22 × 90 = 1 980 ≤ 1 997 < 2 002 = 22 × 91 : le quotient est 90, le reste 1 997 − 1 980 = 17.
1 997 = 22 × 90 + 17, avec 17 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 223 = 11 × 20 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 223 = 11 × 19 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 223 = 11 × 21 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 20, reste 3.
Comme 3 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 223 par 20 : quotient 11, reste 3.
3. 50 = 8 × 6 + 2
6 minibus pleins transportent 48 élèves ; il en reste 2 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 2 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 485 | non | non | oui | non | non |
| 7 050 | oui | oui | oui | non | oui |
| 291 | non | oui | non | non | non |
| 4 617 | non | oui | non | oui | non |
| 6 814 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
485 → 4 + 8 + 5 = 17 7 050 → 7 + 0 + 5 + 0 = 12 291 → 2 + 9 + 1 = 12
4 617 → 4 + 6 + 1 + 7 = 18 6 814 → 6 + 8 + 1 + 4 = 19
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 1 + 9 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 192, 198.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 32 est pair mais 32 = 3 × 10 + 2.
« 8 est un diviseur de 240. » Vrai. 240 = 8 × 30 : le reste de la division de 240 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 57 − 14 + 2 = 43 + 2 = 45
B = 8 ÷ 4 × 4 = 2 × 4 = 8
C = (11 + 7) × 2 − 5 = 18 × 2 − 5 = 36 − 5 = 31
D = 3,9 + 4 × 1,5 = 3,9 + 6 = 9,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 − 2 + 6) × 2 = (6 + 6) × 2 = 12 × 2 = 24
8 × (3 + 5 + 2) = 8 × (8 + 2) = 8 × 10 = 80
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
F = 2 × 83 × 5 = 2 × 5 × 83 = 10 × 83 = 830
G = 29 × 99 = 29 × (100 − 1) = 29 × 100 − 29 × 1 = 2 900 − 29 = 2 871
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 0,4 × 0,4 = 0,4² 11 × 11 = 11²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
100 = 10² : carré 103 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 103 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 9 = 3 × 4 − 9 = 12 − 9 = 3
B = (3 × 2)² − 9 = 6² − 9 = 36 − 9 = 27
C = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
D = (4 + 1)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 4 : x² + 4 = 4² + 4 = 16 + 4 = 20 et 5x = 5 × 4 = 20.
20 = 20 : l'égalité est vraie pour x = 4.
Pour x = 7 : x² + 4 = 7² + 4 = 49 + 4 = 53 et 5x = 5 × 7 = 35.
53 ≠ 35 : l'égalité est fausse pour x = 7.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 1, et seulement pour 4 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 11 et 72. » → encore 60 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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