Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 14 + 6 ÷ 2 = 14 + 3 = 17
B = (14 + 6) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 4.
D = (5 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 3.
E = 4 × (4 − 2) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 4 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 28 = 252 ≤ 256 < 261 = 9 × 29 : le quotient est 28, le reste 256 − 252 = 4.
256 = 9 × 28 + 4, avec 4 < 9.
15 × 61 = 915 ≤ 917 < 930 = 15 × 62 : le quotient est 61, le reste 917 − 915 = 2.
917 = 15 × 61 + 2, avec 2 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 215 = 11 × 18 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 215 = 11 × 20 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 215 = 11 × 19 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 19, reste 6.
Comme 6 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 215 par 19 : quotient 11, reste 6.
3. 52 = 15 × 3 + 7
3 minibus pleins transportent 45 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 7 = 8 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 820 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 6 926 | oui | non | non | non | non |
| 807 | non | oui | non | non | non |
| 5 607 | non | oui | non | oui | non |
| 755 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
8 820 → 8 + 8 + 2 + 0 = 18 6 926 → 6 + 9 + 2 + 6 = 23 807 → 8 + 0 + 7 = 15
5 607 → 5 + 6 + 0 + 7 = 18 755 → 7 + 5 + 5 = 17
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 6 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 765.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 6 est un diviseur de 107. » Faux. 107 = 6 × 17 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 44 − 8 + 7 = 36 + 7 = 43
B = 3 + 64 ÷ 8 × 4 = 3 + 8 × 4 = 3 + 32 = 35
C = (3 + 8) × 3 − 3 = 11 × 3 − 3 = 33 − 3 = 30
D = 5 × [22 − (4 + 2)] = 5 × [22 − 6] = 5 × 16 = 80
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 + 7 − (9 + 4) = 8 + 7 − 13 = 15 − 13 = 2
7 × (2 + 8 + 8) = 7 × (10 + 8) = 7 × 18 = 126
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 44 × 99 = 44 × (100 − 1) = 44 × 100 − 44 × 1 = 4 400 − 44 = 4 356
G = 56 + 0,75 + 44 = 56 + 44 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 12 × 12 = 12² 0,4 × 0,4 = 0,4²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2 × 4² = 8² » Faux. 2 × 4² = 2 × 16 = 32, alors que 8² = 64. Le carré ne porte que sur 4.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 68 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 68 < 81 = 9²)
121 = 11² : carré 137 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 137 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 7 = 5 × 9 − 7 = 45 − 7 = 38
B = (5 × 3)² − 7 = 15² − 7 = 225 − 7 = 218
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 8 = 3 × 2² − 8 = 3 × 4 − 8 = 12 − 8 = 4
B = (3a)² − 8 = (3 × 2)² − 8 = 6² − 8 = 36 − 8 = 28
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 78 et 139. » → encore 60 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100, 121.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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