Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
B = (2 × 3)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 15 + 14 ÷ 2 est une somme : c'est la somme de 15 et du quotient de 14 par 2.
D = 7 × (6 − 5) est un produit : c'est le produit de 7 par la différence entre 6 et 5.
E = 4² − 9 est une différence : c'est la différence entre le carré de 4 et 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 95 = 570 ≤ 574 < 576 = 6 × 96 : le quotient est 95, le reste 574 − 570 = 4.
574 = 6 × 95 + 4, avec 4 < 6.
26 × 64 = 1 664 ≤ 1 668 < 1 690 = 26 × 65 : le quotient est 64, le reste 1 668 − 1 664 = 4.
1 668 = 26 × 64 + 4, avec 4 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 135 = 11 × 11 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 135 = 11 × 12 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 135 = 11 × 13 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 12, reste 3.
Comme 3 < 12 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 135 par 12 : quotient 11, reste 3.
3. 33 = 8 × 4 + 1
4 minibus pleins transportent 32 élèves ; il en reste 1 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 1 = 7 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 685 | non | non | oui | non | non |
| 4 636 | oui | non | non | non | non |
| 1 750 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 763 | non | oui | non | oui | non |
| 291 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
685 → 6 + 8 + 5 = 19 4 636 → 4 + 6 + 3 + 6 = 19 1 750 → 1 + 7 + 5 + 0 = 13
2 763 → 2 + 7 + 6 + 3 = 18 291 → 2 + 9 + 1 = 12
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 6 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 360.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 170 est un multiple de 6. » Faux. 170 = 6 × 28 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 12 + 2 × 6 = 12 + 12 = 24
B = 6 ÷ 3 × 3 = 2 × 3 = 6
C = 58 − 4 × (16 − 9) = 58 − 4 × 7 = 58 − 28 = 30
D = [3 + 4 × (10 − 1)] ÷ 5 = [3 + 4 × 9] ÷ 5 = [3 + 36] ÷ 5 = 39 ÷ 5 = 7,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 5 + 5) × 3 = (7 + 5) × 3 = 12 × 3 = 36
6 × 8 × (5 − 4) = 6 × 8 × 1 = 48 × 1 = 48
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 + 12,6 + 55 = 45 + 55 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 2,7 × 0,25 + 2,7 × 0,75 = 2,7 × (0,25 + 0,75) = 2,7 × 1 = 2,7
G = 31 × 11 = 31 × (10 + 1) = 31 × 10 + 31 × 1 = 310 + 31 = 341
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 7 × 7 = 7² 3 × 3 × 3 = 3³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (2 + 4)² = 2² + 4² » Faux. (2 + 4)² = 6² = 36, alors que 2² + 4² = 4 + 16 = 20.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
14 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 14 < 16 = 4²) 16 = 4² : carré
27 = 3³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
68 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 68 < 81 = 9²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 8 = 4 × 4 − 8 = 16 − 8 = 8
B = (4 × 2)² − 8 = 8² − 8 = 64 − 8 = 56
C = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
D = (6 + 7)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 2 = 5 × 5² − 2 = 5 × 25 − 2 = 125 − 2 = 123
B = (5a)² − 2 = (5 × 5)² − 2 = 25² − 2 = 625 − 2 = 623
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 2² = π × 4 = 4π
a) L'aire exacte est 4π m².
4 × 3,14 = 12,56
b) L'aire vaut environ 13 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 2², et non (π × 2)². On élève 2 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 163 et 212. » → encore 48 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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