Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (32 + 8) ÷ 4 = 40 ÷ 4 = 10
B = 32 + 8 ÷ 4 = 32 + 2 = 34
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 4² − 10 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 4 et 10.
D = (5 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 1.
E = 4 × (7 − 5) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 7 et 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 135 = 810 ≤ 812 < 816 = 6 × 136 : le quotient est 135, le reste 812 − 810 = 2.
812 = 6 × 135 + 2, avec 2 < 6.
15 × 44 = 660 ≤ 664 < 675 = 15 × 45 : le quotient est 44, le reste 664 − 660 = 4.
664 = 15 × 44 + 4, avec 4 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 299 = 9 × 32 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 299 = 9 × 33 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 299 = 9 × 34 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 33, reste 2.
Comme 2 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 299 par 33 : quotient 9, reste 2.
3. 63 = 6 × 10 + 3, avec 3 < 6
a) Elle remplit 10 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 589 | non | oui | non | oui | non |
| 6 900 | oui | oui | oui | non | oui |
| 447 | non | oui | non | non | non |
| 7 642 | oui | non | non | non | non |
| 145 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
5 589 → 5 + 5 + 8 + 9 = 27 6 900 → 6 + 9 + 0 + 0 = 15 447 → 4 + 4 + 7 = 15
7 642 → 7 + 6 + 4 + 2 = 19 145 → 1 + 4 + 5 = 10
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 0 = 1 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 3 ; □ = 5 : 6 ; □ = 8 : 9
3 solutions : 120, 150, 180.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 87 est un multiple de 7. » Faux. 87 = 7 × 12 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 55 − 5 + 14 = 50 + 14 = 64
B = 17 + 35 ÷ 5 × 4 = 17 + 7 × 4 = 17 + 28 = 45
C = 91 − 2 × (15 − 3) = 91 − 2 × 12 = 91 − 24 = 67
D = 4,6 + 6 × 2,5 = 4,6 + 15 = 19,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (3 × 2 + 7) = 8 × (6 + 7) = 8 × 13 = 104
6 − (3 + 2 − 4) = 6 − (5 − 4) = 6 − 1 = 5
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 15 × 11 = 15 × (10 + 1) = 15 × 10 + 15 × 1 = 150 + 15 = 165
F = 8 × 51 × 125 = 8 × 125 × 51 = 1 000 × 51 = 51 000
G = 42 × 24 + 42 × 76 = 42 × (24 + 76) = 42 × 100 = 4 200
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 2,5 × 2,5 = 2,5² 5 × 5 × 5 = 5³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 2 × 4² = 8² » Faux. 2 × 4² = 2 × 16 = 32, alors que 8² = 64. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 32 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 32 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
131 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 131 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 4 = 4 × 36 − 4 = 144 − 4 = 140
B = (4 × 6)² − 4 = 24² − 4 = 576 − 4 = 572
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : 5a² = 5 × 4² = 5 × 16 = 80
Pour a = 10 : 5a² = 5 × 10² = 5 × 100 = 500
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 81 et 151. » → encore 69 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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