Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (38 − 6) × 5 = 32 × 5 = 160
B = 38 − 6 × 5 = 38 − 30 = 8
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5² − 12 est une différence : c'est la différence entre le carré de 5 et 12.
D = 2 + 8 × 7 est une somme : c'est la somme de 2 et du produit de 8 par 7.
E = 9 × (7 − 3) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 7 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 190 = 570 ≤ 571 < 573 = 3 × 191 : le quotient est 190, le reste 571 − 570 = 1.
571 = 3 × 190 + 1, avec 1 < 3.
23 × 103 = 2 369 ≤ 2 378 < 2 392 = 23 × 104 : le quotient est 103, le reste 2 378 − 2 369 = 9.
2 378 = 23 × 103 + 9, avec 9 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 143 = 6 × 23 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 143 = 6 × 22 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 143 = 6 × 24 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 23, reste 5.
Comme 5 < 23 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 143 par 23 : quotient 6, reste 5.
3. 93 = 6 × 15 + 3, avec 3 < 6
a) Elle remplit 15 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 998 | oui | non | non | non | non |
| 545 | non | non | oui | non | non |
| 6 831 | non | oui | non | oui | non |
| 7 250 | oui | non | oui | non | oui |
| 411 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 998 → 9 + 9 + 9 + 8 = 35 545 → 5 + 4 + 5 = 14 6 831 → 6 + 8 + 3 + 1 = 18
7 250 → 7 + 2 + 5 + 0 = 14 411 → 4 + 1 + 1 = 6
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 9 + □ = 11 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 15
Une seule solution : 294.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 666, somme des chiffres 18.
« 8 est un diviseur de 232. » Vrai. 232 = 8 × 29 : le reste de la division de 232 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 28 + 7 × 6 = 28 + 42 = 70
B = 4 + 6 ÷ 3 × 3 = 4 + 2 × 3 = 4 + 6 = 10
C = (9 × 3 − 1) ÷ 5 = (27 − 1) ÷ 5 = 26 ÷ 5 = 5,2
D = 6,3 + 6 × 1,2 = 6,3 + 7,2 = 13,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × 8 × (7 − 4) = 4 × 8 × 3 = 32 × 3 = 96
8 − (2 + 3) + 9 = 8 − 5 + 9 = 3 + 9 = 12
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 99 = 42 × (100 − 1) = 42 × 100 − 42 × 1 = 4 200 − 42 = 4 158
F = 71 + 7,8 + 29 = 71 + 29 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 5 × 5 × 5 = 5³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
23 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 23 < 25 = 5²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 86 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 86 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 6 = 4 × 4 − 6 = 16 − 6 = 10
B = (4 × 2)² − 6 = 8² − 6 = 64 − 6 = 58
C = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
D = (5 + 2)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 5 : n² + 15 = 5² + 15 = 25 + 15 = 40 et 8n = 8 × 5 = 40.
40 = 40 : l'égalité est vraie pour n = 5.
Pour n = 2 : n² + 15 = 2² + 15 = 4 + 15 = 19 et 8n = 8 × 2 = 16.
19 ≠ 16 : l'égalité est fausse pour n = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 3, et seulement pour 5 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 900 : 30 × 30 = 900, c'est-à-dire 30² = 900.
a) Le côté mesure 30 m.
4 × 30 = 120
b) Le périmètre est de 120 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 9 et 69. » → encore 59 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 16, 25, 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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