Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
B = (3 + 4)² = 7² = 49
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 6² est un produit : c'est le double du carré de 6.
D = (36 + 4) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 36 et 4 par 8.
E = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 40 = 280 ≤ 284 < 287 = 7 × 41 : le quotient est 40, le reste 284 − 280 = 4.
284 = 7 × 40 + 4, avec 4 < 7.
29 × 51 = 1 479 ≤ 1 502 < 1 508 = 29 × 52 : le quotient est 51, le reste 1 502 − 1 479 = 23.
1 502 = 29 × 51 + 23, avec 23 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 309 = 8 × 39 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 309 = 8 × 37 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(c) 309 = 8 × 38 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 38, reste 5.
Comme 5 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 309 par 38 : quotient 8, reste 5.
3. 248 = 6 × 41 + 2, avec 2 < 6
a) Elle remplit 41 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 046 | oui | non | non | non | non |
| 1 880 | oui | non | oui | non | oui |
| 835 | non | non | oui | non | non |
| 177 | non | oui | non | non | non |
| 5 841 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
9 046 → 9 + 0 + 4 + 6 = 19 1 880 → 1 + 8 + 8 + 0 = 17 835 → 8 + 3 + 5 = 16
177 → 1 + 7 + 7 = 15 5 841 → 5 + 8 + 4 + 1 = 18
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 7 = 15 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 18
Une seule solution : 837.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 59 est un multiple de 3. » Faux. 59 = 3 × 19 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 5 × 3 = 22 + 15 = 37
B = 35 ÷ 5 × 2 = 7 × 2 = 14
C = (10 + 2) × 2 − 12 = 12 × 2 − 12 = 24 − 12 = 12
D = 8,2 + 3 × 0,2 = 8,2 + 0,6 = 8,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(7 + 8) × 4 + 4 = 15 × 4 + 4 = 60 + 4 = 64
5 × (8 + 9) − 7 = 5 × 17 − 7 = 85 − 7 = 78
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,8 + 12,5 × 0,2 = 12,5 × (0,8 + 0,2) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 39 × 9 = 39 × (10 − 1) = 39 × 10 − 39 × 1 = 390 − 39 = 351
G = 77 + 12,6 + 23 = 77 + 23 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 11 × 11 = 11² 6 × 6 × 6 = 6³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « (2 + 1)² = 2² + 1² » Faux. (2 + 1)² = 3² = 9, alors que 2² + 1² = 4 + 1 = 5.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2 × 4² = 8² » Faux. 2 × 4² = 2 × 16 = 32, alors que 8² = 64. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²) 123 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 123 < 144 = 12²)
124 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 124 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 8 = 5 × 4 − 8 = 20 − 8 = 12
B = (5 × 2)² − 8 = 10² − 8 = 100 − 8 = 92
C = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
D = (4 + 5)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 1 = 4 × 5² − 1 = 4 × 25 − 1 = 100 − 1 = 99
B = (4a)² − 1 = (4 × 5)² − 1 = 20² − 1 = 400 − 1 = 399
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 123 :
11² = 121 ≤ 123 et 12² = 144 > 123.
a) Elle mettra 11 dalles sur chaque côté.
123 − 121 = 2
b) Il lui restera 2 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 87 et 134. » → encore 46 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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