Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (10 + 8) × 7 = 18 × 7 = 126
B = 10 + 8 × 7 = 10 + 56 = 66
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 × (6 − 4) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 6 et 4.
D = (2 + 6)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 6.
E = 2 + 9 × 4 est une somme : c'est la somme de 2 et du produit de 9 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 163 = 978 ≤ 982 < 984 = 6 × 164 : le quotient est 163, le reste 982 − 978 = 4.
982 = 6 × 163 + 4, avec 4 < 6.
25 × 14 = 350 ≤ 352 < 375 = 25 × 15 : le quotient est 14, le reste 352 − 350 = 2.
352 = 25 × 14 + 2, avec 2 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 211 = 13 × 15 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(b) 211 = 13 × 17 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 211 = 13 × 16 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 16, reste 3.
Comme 3 < 16 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 211 par 16 : quotient 13, reste 3.
3. 139 = 7 × 19 + 6
a) 139 jours font 19 semaines complètes et 6 jours.
Après 19 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 6 jours : dimanche → lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 139 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 605 | non | non | oui | non | non |
| 1 592 | oui | non | non | non | non |
| 7 990 | oui | non | oui | non | oui |
| 5 697 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
417 → 4 + 1 + 7 = 12 605 → 6 + 0 + 5 = 11 1 592 → 1 + 5 + 9 + 2 = 17
7 990 → 7 + 9 + 9 + 0 = 25 5 697 → 5 + 6 + 9 + 7 = 27
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 9 + 9 + □ = 18 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 18
Une seule solution : 990.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 144, somme des chiffres 9.
« 152 est un multiple de 8. » Vrai. 152 = 8 × 19 : le reste de la division de 152 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 + 6 × 9 = 21 + 54 = 75
B = 6 × 3 − 2 × 4 = 18 − 8 = 10
C = 79 − 4 × (11 − 8) = 79 − 4 × 3 = 79 − 12 = 67
D = [6 + 8 × (7 − 2)] ÷ 5 = [6 + 8 × 5] ÷ 5 = [6 + 40] ÷ 5 = 46 ÷ 5 = 9,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 − 3 + 8) × 6 = (2 + 8) × 6 = 10 × 6 = 60
(6 + 2) × 4 − 8 = 8 × 4 − 8 = 32 − 8 = 24
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 40 × 73 + 40 × 27 = 40 × (73 + 27) = 40 × 100 = 4 000
F = 51 + 3,45 + 49 = 51 + 49 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
G = 38 × 11 = 38 × (10 + 1) = 38 × 10 + 38 × 1 = 380 + 38 = 418
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 1,1 × 1,1 = 1,1² 4 × 4 × 4 = 4³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 3 × 3² = 9² » Faux. 3 × 3² = 3 × 9 = 27, alors que 9² = 81. Le carré ne porte que sur 3.
« (1 + 3)² = 1² + 3² » Faux. (1 + 3)² = 4² = 16, alors que 1² + 3² = 1 + 9 = 10.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²) 99 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 99 < 100 = 10²)
110 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 110 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 3 = 3 × 25 − 3 = 75 − 3 = 72
B = (3 × 5)² − 3 = 15² − 3 = 225 − 3 = 222
C = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
D = (3 + 5)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 3 : a² + 2a = 3² + 2 × 3 = 9 + 2 × 3 = 9 + 6 = 15
Pour a = 10 : a² + 2a = 10² + 2 × 10 = 100 + 2 × 10 = 100 + 20 = 120
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 48 et 78. » → encore 29 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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