Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 14 − 2 × 4 = 14 − 8 = 6
B = (14 − 2) × 4 = 12 × 4 = 48
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (10 + 22) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 10 et 22 par 8.
D = 4² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 2.
E = 3 × (7 − 6) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 7 et 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 40 = 240 ≤ 245 < 246 = 6 × 41 : le quotient est 40, le reste 245 − 240 = 5.
245 = 6 × 40 + 5, avec 5 < 6.
14 × 125 = 1 750 ≤ 1 761 < 1 764 = 14 × 126 : le quotient est 125, le reste 1 761 − 1 750 = 11.
1 761 = 14 × 125 + 11, avec 11 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 430 = 13 × 34 − 12 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 430 = 13 × 32 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 430 = 13 × 33 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 33, reste 1.
Comme 1 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 430 par 33 : quotient 13, reste 1.
3. 177 = 7 × 25 + 2
a) 177 jours font 25 semaines complètes et 2 jours.
Après 25 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 2 jours : lundi → mardi → mercredi.
b) Dans 177 jours, nous serons mercredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 624 | oui | non | non | non | non |
| 955 | non | non | oui | non | non |
| 1 233 | non | oui | non | oui | non |
| 6 010 | oui | non | oui | non | oui |
| 237 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
2 624 → 2 + 6 + 2 + 4 = 14 955 → 9 + 5 + 5 = 19 1 233 → 1 + 2 + 3 + 3 = 9
6 010 → 6 + 0 + 1 + 0 = 7 237 → 2 + 3 + 7 = 12
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 6 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 5 : 15 ; □ = 8 : 18
3 solutions : 426, 456, 486.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 134 est un multiple de 8. » Faux. 134 = 8 × 16 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 16 + 7 × 6 = 16 + 42 = 58
B = 4 × 5 − 5 × 4 = 20 − 20 = 0
C = (3 × 6 − 7) ÷ 5 = (18 − 7) ÷ 5 = 11 ÷ 5 = 2,2
D = 5 × [40 − (7 + 4)] = 5 × [40 − 11] = 5 × 29 = 145
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (9 + 6) − 9 = 3 × 15 − 9 = 45 − 9 = 36
2 × (7 + 9 + 5) = 2 × (16 + 5) = 2 × 21 = 42
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 16 × 40 + 16 × 60 = 16 × (40 + 60) = 16 × 100 = 1 600
F = 17 × 9 = 17 × (10 − 1) = 17 × 10 − 17 × 1 = 170 − 17 = 153
G = 8 × 41 × 125 = 8 × 125 × 41 = 1 000 × 41 = 41 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
34 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 34 < 36 = 6²) 41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²)
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 9 = 3 × 25 − 9 = 75 − 9 = 66
B = (3 × 5)² − 9 = 15² − 9 = 225 − 9 = 216
C = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
D = (3 + 1)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 5 : 5n² = 5 × 5² = 5 × 25 = 125
Pour n = 10 : 5n² = 5 × 10² = 5 × 100 = 500
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 9 et 44. » → encore 34 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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