Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 27 − 3 × 5 = 27 − 15 = 12
B = (27 − 3) × 5 = 24 × 5 = 120
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (6 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 4.
D = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
E = 3 × 5² − 9 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 5 et 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 111 = 555 ≤ 559 < 560 = 5 × 112 : le quotient est 111, le reste 559 − 555 = 4.
559 = 5 × 111 + 4, avec 4 < 5.
29 × 43 = 1 247 ≤ 1 248 < 1 276 = 29 × 44 : le quotient est 43, le reste 1 248 − 1 247 = 1.
1 248 = 29 × 43 + 1, avec 1 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 188 = 10 × 19 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 188 = 10 × 17 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(c) 188 = 10 × 18 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 18, reste 8.
Comme 8 < 18 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 188 par 18 : quotient 10, reste 8.
3. 108 = 7 × 15 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 15 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 990 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 957 | non | oui | non | non | non |
| 665 | non | non | oui | non | non |
| 1 089 | non | oui | non | oui | non |
| 5 396 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 990 → 9 + 9 + 9 + 0 = 27 957 → 9 + 5 + 7 = 21 665 → 6 + 6 + 5 = 17
1 089 → 1 + 0 + 8 + 9 = 18 5 396 → 5 + 3 + 9 + 6 = 23
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 3 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 6 : 18
2 solutions : 930, 936.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 182 est un multiple de 9. » Faux. 182 = 9 × 20 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 76 − 4 × 3 = 76 − 12 = 64
B = 7 × 9 − 3 × 5 = 63 − 15 = 48
C = (5 + 7) × 2 − 3 = 12 × 2 − 3 = 24 − 3 = 21
D = 4 × [31 − (7 + 7)] = 4 × [31 − 14] = 4 × 17 = 68
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (7 + 2 × 5) = 3 × (7 + 10) = 3 × 17 = 51
3 × 8 × (7 − 5) = 3 × 8 × 2 = 24 × 2 = 48
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 40 × 9 = 40 × (10 − 1) = 40 × 10 − 40 × 1 = 400 − 40 = 360
F = 4 × 38 × 25 = 4 × 25 × 38 = 100 × 38 = 3 800
G = 42 × 18 + 42 × 82 = 42 × (18 + 82) = 42 × 100 = 4 200
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 2 × 2 × 2 = 2³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (5 + 2)² = 5² + 2² » Faux. (5 + 2)² = 7² = 49, alors que 5² + 2² = 25 + 4 = 29.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 53 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 53 < 64 = 8²)
100 = 10² : carré 110 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 110 < 121 = 11²)
115 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 115 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 6 = 5 × 16 − 6 = 80 − 6 = 74
B = (5 × 4)² − 6 = 20² − 6 = 400 − 6 = 394
C = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
D = (6 + 1)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 5 = 4 × 4² − 5 = 4 × 16 − 5 = 64 − 5 = 59
B = (4a)² − 5 = (4 × 4)² − 5 = 16² − 5 = 256 − 5 = 251
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 65 et 102. » → encore 36 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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