Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
B = (2 × 5)² = 10² = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (9 + 5) × 4 est un produit : c'est le produit de la somme de 9 et 5 par 4.
D = (7 + 21) ÷ 7 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 7 et 21 par 7.
E = 4 + 72 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 4 et du quotient de 72 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 111 = 666 ≤ 670 < 672 = 6 × 112 : le quotient est 111, le reste 670 − 666 = 4.
670 = 6 × 111 + 4, avec 4 < 6.
21 × 104 = 2 184 ≤ 2 199 < 2 205 = 21 × 105 : le quotient est 104, le reste 2 199 − 2 184 = 15.
2 199 = 21 × 104 + 15, avec 15 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 136 = 15 × 8 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(b) 136 = 15 × 10 − 14 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 136 = 15 × 9 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 9, reste 1.
Comme 1 < 9 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 136 par 9 : quotient 15, reste 1.
3. 65 = 12 × 5 + 5
En 5 soirs, elle lit 60 pages ; il lui en reste encore 5.
a) Il lui faut 5 + 1 = 6 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 5 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 783 | non | oui | non | oui | non |
| 357 | non | oui | non | non | non |
| 185 | non | non | oui | non | non |
| 6 920 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 652 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 783 → 9 + 7 + 8 + 3 = 27 357 → 3 + 5 + 7 = 15 185 → 1 + 8 + 5 = 14
6 920 → 6 + 9 + 2 + 0 = 17 6 652 → 6 + 6 + 5 + 2 = 19
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 8 + □ = 17 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 21
Une seule solution : 984.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 140 est un multiple de 5. » Vrai. 140 = 5 × 28 : le reste de la division de 140 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 + 7 × 7 = 24 + 49 = 73
B = 7 × 2 − 2 × 2 = 14 − 4 = 10
C = (4 × 5 − 2) ÷ 2 = (20 − 2) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9
D = 3 × [29 − (3 + 2)] = 3 × [29 − 5] = 3 × 24 = 72
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (3 × 6 − 8) = 7 × (18 − 8) = 7 × 10 = 70
8 + 5 − (8 + 4) = 8 + 5 − 12 = 13 − 12 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 43 + 5,05 + 57 = 43 + 57 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
F = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 22 × 99 = 22 × (100 − 1) = 22 × 100 − 22 × 1 = 2 200 − 22 = 2 178
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 5 × 5 = 5² 0,7 × 0,7 = 0,7²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
86 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 86 < 100 = 10²) 143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 6 = 2 × 16 − 6 = 32 − 6 = 26
B = (2 × 4)² − 6 = 8² − 6 = 64 − 6 = 58
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 7 : x² + 2 = 7² + 2 = 49 + 2 = 51 et 3x = 3 × 7 = 21.
51 ≠ 21 : l'égalité est fausse pour x = 7.
Pour x = 1 : x² + 2 = 1² + 2 = 1 + 2 = 3 et 3x = 3 × 1 = 3.
3 = 3 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 1 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
2 × 2 = 4
a) Il faut 4 carreaux le long d'un côté.
4 rangées de 4 carreaux : 4² = 4 × 4 = 16
b) Il faut 16 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 129 et 179. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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