Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (24 − 3) × 5 = 21 × 5 = 105
B = 24 − 3 × 5 = 24 − 15 = 9
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 × 4² − 14 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 4 et 14.
D = (12 + 5) × 9 est un produit : c'est le produit de la somme de 12 et 5 par 9.
E = 5² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 76 = 684 ≤ 691 < 693 = 9 × 77 : le quotient est 76, le reste 691 − 684 = 7.
691 = 9 × 76 + 7, avec 7 < 9.
24 × 90 = 2 160 ≤ 2 169 < 2 184 = 24 × 91 : le quotient est 90, le reste 2 169 − 2 160 = 9.
2 169 = 24 × 90 + 9, avec 9 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 296 = 9 × 33 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 296 = 9 × 32 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 296 = 9 × 31 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 32, reste 8.
Comme 8 < 32 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 296 par 32 : quotient 9, reste 8.
3. 157 = 12 × 13 + 1, avec 1 < 12
a) Elle remplit 13 boîtes pleines.
b) Il reste 1 œuf.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 234 | oui | non | non | non | non |
| 381 | non | oui | non | non | non |
| 175 | non | non | oui | non | non |
| 4 060 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 867 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
2 234 → 2 + 2 + 3 + 4 = 11 381 → 3 + 8 + 1 = 12 175 → 1 + 7 + 5 = 13
4 060 → 4 + 0 + 6 + 0 = 10 6 867 → 6 + 8 + 6 + 7 = 27
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 9 + 6 + □ = 15 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 15
Une seule solution : 960.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 360, somme des chiffres 9.
« 8 est un diviseur de 192. » Vrai. 192 = 8 × 24 : le reste de la division de 192 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 29 − 15 + 4 = 14 + 4 = 18
B = 3 × 9 − 4 × 4 = 27 − 16 = 11
C = (4 × 6 − 7) ÷ 2 = (24 − 7) ÷ 2 = 17 ÷ 2 = 8,5
D = 3 × [20 − (3 + 5)] = 3 × [20 − 8] = 3 × 12 = 36
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (4 × 2 − 2) = 6 × (8 − 2) = 6 × 6 = 36
5 × (8 + 2) + 2 = 5 × 10 + 2 = 50 + 2 = 52
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 39 × 11 = 39 × (10 + 1) = 39 × 10 + 39 × 1 = 390 + 39 = 429
F = 8 × 52 × 125 = 8 × 125 × 52 = 1 000 × 52 = 52 000
G = 40 × 54 + 40 × 46 = 40 × (54 + 46) = 40 × 100 = 4 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
11 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 11 < 16 = 4²) 49 = 7² : carré
107 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 107 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
148 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 148 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 1 = 3 × 9 − 1 = 27 − 1 = 26
B = (3 × 3)² − 1 = 9² − 1 = 81 − 1 = 80
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 6 = 1² + 6 = 1 + 6 = 7 et 7x = 7 × 1 = 7.
7 = 7 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Pour x = 2 : x² + 6 = 2² + 6 = 4 + 6 = 10 et 7x = 7 × 2 = 14.
10 ≠ 14 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 6, et seulement pour 1 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
3 × 5 = 15
a) Il faut 15 carreaux le long d'un côté.
15 rangées de 15 carreaux : 15² = 15 × 15 = 225
b) Il faut 225 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 129 et 170. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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