Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 2)² = 8² = 64
B = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
D = 5 × (6 − 2) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 6 et 2.
E = 3 × 4² − 7 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 4 et 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 84 = 588 ≤ 594 < 595 = 7 × 85 : le quotient est 84, le reste 594 − 588 = 6.
594 = 7 × 84 + 6, avec 6 < 7.
23 × 77 = 1 771 ≤ 1 792 < 1 794 = 23 × 78 : le quotient est 77, le reste 1 792 − 1 771 = 21.
1 792 = 23 × 77 + 21, avec 21 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 82 = 9 × 9 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 82 = 9 × 8 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 82 = 9 × 10 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 9, reste 1.
Comme 1 < 9 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 82 par 9 : quotient 9, reste 1.
3. 52 = 8 × 6 + 4, avec 4 < 8
a) Chaque joueur reçoit 6 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 455 | non | non | oui | non | non |
| 6 700 | oui | non | oui | non | oui |
| 1 737 | non | oui | non | oui | non |
| 3 998 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
141 → 1 + 4 + 1 = 6 455 → 4 + 5 + 5 = 14 6 700 → 6 + 7 + 0 + 0 = 13
1 737 → 1 + 7 + 3 + 7 = 18 3 998 → 3 + 9 + 9 + 8 = 29
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 2 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 720.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 837, somme des chiffres 18.
« 66 est un multiple de 6. » Vrai. 66 = 6 × 11 : le reste de la division de 66 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 35 − 6 + 5 = 29 + 5 = 34
B = 64 ÷ 8 × 4 = 8 × 4 = 32
C = (3 × 7 − 2) ÷ 5 = (21 − 2) ÷ 5 = 19 ÷ 5 = 3,8
D = 2 × [20 − (4 + 8)] = 2 × [20 − 12] = 2 × 8 = 16
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 2 + 5) × 5 = (5 + 5) × 5 = 10 × 5 = 50
2 + 4 − (4 − 2) = 2 + 4 − 2 = 6 − 2 = 4
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 30 × 52 + 30 × 48 = 30 × (52 + 48) = 30 × 100 = 3 000
F = 2 × 76 × 5 = 2 × 5 × 76 = 10 × 76 = 760
G = 27 × 11 = 27 × (10 + 1) = 27 × 10 + 27 × 1 = 270 + 27 = 297
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 9 × 9 = 9² 3 × 3 × 3 = 3³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 3 × 5² = 15² » Faux. 3 × 5² = 3 × 25 = 75, alors que 15² = 225. Le carré ne porte que sur 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
57 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 57 < 64 = 8²) 85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²)
88 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 88 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 6 = 2 × 36 − 6 = 72 − 6 = 66
B = (2 × 6)² − 6 = 12² − 6 = 144 − 6 = 138
C = 7² + 2² = 49 + 4 = 53
D = (7 + 2)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 7 = 2 × 2² − 7 = 2 × 4 − 7 = 8 − 7 = 1
B = (2x)² − 7 = (2 × 2)² − 7 = 4² − 7 = 16 − 7 = 9
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 37 :
6² = 36 ≤ 37 et 7² = 49 > 37.
a) Elle mettra 6 dalles sur chaque côté.
37 − 36 = 1
b) Il lui restera 1 dalle.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 36 et 98. » → encore 61 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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