Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 40 − 6 × 5 = 40 − 30 = 10
B = (40 − 6) × 5 = 34 × 5 = 170
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 25 − 5 × 4 est une différence : c'est la différence entre 25 et le produit de 5 par 4.
D = 10 + 2 × 5 est une somme : c'est la somme de 10 et du produit de 2 par 5.
E = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 131 = 524 ≤ 525 < 528 = 4 × 132 : le quotient est 131, le reste 525 − 524 = 1.
525 = 4 × 131 + 1, avec 1 < 4.
16 × 37 = 592 ≤ 600 < 608 = 16 × 38 : le quotient est 37, le reste 600 − 592 = 8.
600 = 16 × 37 + 8, avec 8 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 173 = 9 × 20 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 173 = 9 × 19 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 173 = 9 × 18 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 19, reste 2.
Comme 2 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 173 par 19 : quotient 9, reste 2.
3. 73 = 16 × 4 + 9
4 minibus pleins transportent 64 élèves ; il en reste 9 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 9 = 7 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 605 | non | non | oui | non | non |
| 6 903 | non | oui | non | oui | non |
| 237 | non | oui | non | non | non |
| 2 560 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 692 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
605 → 6 + 0 + 5 = 11 6 903 → 6 + 9 + 0 + 3 = 18 237 → 2 + 3 + 7 = 12
2 560 → 2 + 5 + 6 + 0 = 13 3 692 → 3 + 6 + 9 + 2 = 20
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 1 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 912, 918.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 51 est divisible par 3 (51 = 3 × 17) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 83 est un multiple de 5. » Faux. 83 = 5 × 16 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 + 8 × 6 = 24 + 48 = 72
B = 11 + 12 ÷ 4 × 2 = 11 + 3 × 2 = 11 + 6 = 17
C = 55 − 2 × (12 − 2) = 55 − 2 × 10 = 55 − 20 = 35
D = 5 × [27 − (3 + 5)] = 5 × [27 − 8] = 5 × 19 = 95
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 7 − 6) × 2 = (15 − 6) × 2 = 9 × 2 = 18
7 × (3 + 8) − 6 = 7 × 11 − 6 = 77 − 6 = 71
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12 × 11 = 12 × (10 + 1) = 12 × 10 + 12 × 1 = 120 + 12 = 132
F = 49 × 72 + 49 × 28 = 49 × (72 + 28) = 49 × 100 = 4 900
G = 8 × 79 × 125 = 8 × 125 × 79 = 1 000 × 79 = 79 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 7 × 7 = 7² 0,4 × 0,4 = 0,4² 5 × 5 × 5 = 5³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 49 = 7² : carré
62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
65 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 65 < 81 = 9²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 2 = 3 × 36 − 2 = 108 − 2 = 106
B = (3 × 6)² − 2 = 18² − 2 = 324 − 2 = 322
C = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
D = (6 + 2)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 7 : n² + 30 = 7² + 30 = 49 + 30 = 79 et 11n = 11 × 7 = 77.
79 ≠ 77 : l'égalité est fausse pour n = 7.
Pour n = 6 : n² + 30 = 6² + 30 = 36 + 30 = 66 et 11n = 11 × 6 = 66.
66 = 66 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 6 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 187 et 247. » → encore 59 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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