Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 12 + 8 ÷ 2 = 12 + 4 = 16
B = (12 + 8) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
D = 68 − 7 × 7 est une différence : c'est la différence entre 68 et le produit de 7 par 7.
E = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 120 = 480 ≤ 483 < 484 = 4 × 121 : le quotient est 120, le reste 483 − 480 = 3.
483 = 4 × 120 + 3, avec 3 < 4.
27 × 51 = 1 377 ≤ 1 399 < 1 404 = 27 × 52 : le quotient est 51, le reste 1 399 − 1 377 = 22.
1 399 = 27 × 51 + 22, avec 22 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 282 = 7 × 40 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 282 = 7 × 39 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(c) 282 = 7 × 41 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 40, reste 2.
Comme 2 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 282 par 40 : quotient 7, reste 2.
3. 52 = 8 × 6 + 4
6 minibus pleins transportent 48 élèves ; il en reste 4 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 4 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 921 | non | oui | non | non | non |
| 3 320 | oui | non | oui | non | oui |
| 995 | non | non | oui | non | non |
| 6 388 | oui | non | non | non | non |
| 8 901 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
921 → 9 + 2 + 1 = 12 3 320 → 3 + 3 + 2 + 0 = 8 995 → 9 + 9 + 5 = 23
6 388 → 6 + 3 + 8 + 8 = 25 8 901 → 8 + 9 + 0 + 1 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 8 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 585.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 414, somme des chiffres 9.
« 7 est un diviseur de 91. » Vrai. 91 = 7 × 13 : le reste de la division de 91 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 + 8 × 8 = 21 + 64 = 85
B = 49 ÷ 7 × 2 = 7 × 2 = 14
C = (4 × 6 − 6) ÷ 2 = (24 − 6) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9
D = 8,8 + 4 × 1,5 = 8,8 + 6 = 14,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 − 2 + 6) × 3 = (6 + 6) × 3 = 12 × 3 = 36
3 × 3 × (9 + 3) = 3 × 3 × 12 = 9 × 12 = 108
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 43 × 125 = 8 × 125 × 43 = 1 000 × 43 = 43 000
F = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 26 × 99 = 26 × (100 − 1) = 26 × 100 − 26 × 1 = 2 600 − 26 = 2 574
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 0,4 × 0,4 = 0,4² 3 × 3 = 3²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
37 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 37 < 49 = 7²) 89 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 89 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 126 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 126 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 5 = 4 × 25 − 5 = 100 − 5 = 95
B = (4 × 5)² − 5 = 20² − 5 = 400 − 5 = 395
C = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
D = (5 + 2)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 1 = 3 × 5² − 1 = 3 × 25 − 1 = 75 − 1 = 74
B = (3a)² − 1 = (3 × 5)² − 1 = 15² − 1 = 225 − 1 = 224
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 9² = π × 81 = 81π
a) L'aire exacte est 81π m².
81 × 3,14 = 254,34
b) L'aire vaut environ 254 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 9², et non (π × 9)². On élève 9 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 63 et 105. » → encore 41 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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