Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 48 + 48 ÷ 6 = 48 + 8 = 56
B = (48 + 48) ÷ 6 = 96 ÷ 6 = 16
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 2.
D = 5 + 2 × 8 est une somme : c'est la somme de 5 et du produit de 2 par 8.
E = (31 + 17) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 31 et 17 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 30 = 180 ≤ 183 < 186 = 6 × 31 : le quotient est 30, le reste 183 − 180 = 3.
183 = 6 × 30 + 3, avec 3 < 6.
20 × 66 = 1 320 ≤ 1 332 < 1 340 = 20 × 67 : le quotient est 66, le reste 1 332 − 1 320 = 12.
1 332 = 20 × 66 + 12, avec 12 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 336 = 9 × 38 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 336 = 9 × 36 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 336 = 9 × 37 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 9. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 37, reste 3.
Comme 3 < 37 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 336 par 37 : quotient 9, reste 3.
3. 176 = 7 × 25 + 1
a) 176 jours font 25 semaines complètes et 1 jour.
Après 25 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 1 jour : mardi → mercredi.
b) Dans 176 jours, nous serons mercredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 890 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 7 569 | non | oui | non | oui | non |
| 535 | non | non | oui | non | non |
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 9 412 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
1 890 → 1 + 8 + 9 + 0 = 18 7 569 → 7 + 5 + 6 + 9 = 27 535 → 5 + 3 + 5 = 13
417 → 4 + 1 + 7 = 12 9 412 → 9 + 4 + 1 + 2 = 16
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 8 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 480.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 87 est divisible par 3 (87 = 3 × 29) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 147 est un multiple de 5. » Faux. 147 = 5 × 29 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 12 + 8 × 5 = 12 + 40 = 52
B = 48 ÷ 6 × 2 = 8 × 2 = 16
C = (7 + 4) × 2 − 5 = 11 × 2 − 5 = 22 − 5 = 17
D = [4 + 7 × (11 − 1)] ÷ 2 = [4 + 7 × 10] ÷ 2 = [4 + 70] ÷ 2 = 74 ÷ 2 = 37
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (9 + 2 − 5) = 7 × (11 − 5) = 7 × 6 = 42
2 × (3 × 4 − 4) = 2 × (12 − 4) = 2 × 8 = 16
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 9 = 42 × (10 − 1) = 42 × 10 − 42 × 1 = 420 − 42 = 378
F = 20 + 7,8 + 80 = 20 + 80 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 4 × 4 = 4² 5 × 5 × 5 = 5³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
32 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 32 < 36 = 6²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 96 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 96 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 5 = 2 × 9 − 5 = 18 − 5 = 13
B = (2 × 3)² − 5 = 6² − 5 = 36 − 5 = 31
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 4 = 5 × 5² − 4 = 5 × 25 − 4 = 125 − 4 = 121
B = (5a)² − 4 = (5 × 5)² − 4 = 25² − 4 = 625 − 4 = 621
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 138 et 190. » → encore 51 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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