Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
B = (2 × 5)² = 10² = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 14 − 2 × 3 est une différence : c'est la différence entre 14 et le produit de 2 par 3.
D = (1 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 3.
E = (10 + 2) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 10 et 2 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 36 = 216 ≤ 217 < 222 = 6 × 37 : le quotient est 36, le reste 217 − 216 = 1.
217 = 6 × 36 + 1, avec 1 < 6.
22 × 60 = 1 320 ≤ 1 324 < 1 342 = 22 × 61 : le quotient est 60, le reste 1 324 − 1 320 = 4.
1 324 = 22 × 60 + 4, avec 4 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 282 = 12 × 23 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 282 = 12 × 22 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 282 = 12 × 24 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 23, reste 6.
Comme 6 < 23 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 282 par 23 : quotient 12, reste 6.
3. 86 = 6 × 14 + 2, avec 2 < 6
a) Elle remplit 14 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 146 | oui | non | non | non | non |
| 9 603 | non | oui | non | oui | non |
| 561 | non | oui | non | non | non |
| 355 | non | non | oui | non | non |
| 8 310 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
9 146 → 9 + 1 + 4 + 6 = 20 9 603 → 9 + 6 + 0 + 3 = 18 561 → 5 + 6 + 1 = 12
355 → 3 + 5 + 5 = 13 8 310 → 8 + 3 + 1 + 0 = 12
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 4 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 414, 444, 474.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 53 se termine par 3, mais 53 = 3 × 17 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 8 est un diviseur de 156. » Faux. 156 = 8 × 19 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 27 + 9 × 6 = 27 + 54 = 81
B = 21 ÷ 7 × 2 = 3 × 2 = 6
C = (4 + 8) × 3 − 16 = 12 × 3 − 16 = 36 − 16 = 20
D = 3 × [37 − (4 + 8)] = 3 × [37 − 12] = 3 × 25 = 75
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (3 + 6) − 6 = 8 × 9 − 6 = 72 − 6 = 66
7 × (5 + 7 + 8) = 7 × (12 + 8) = 7 × 20 = 140
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 51 + 0,75 + 49 = 51 + 49 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 19 × 99 = 19 × (100 − 1) = 19 × 100 − 19 × 1 = 1 900 − 19 = 1 881
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 12 × 12 = 12² 3 × 3 × 3 = 3³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
11 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 11 < 16 = 4²) 81 = 9² : carré
114 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 114 < 121 = 11²) 116 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 116 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 5 = 4 × 16 − 5 = 64 − 5 = 59
B = (4 × 4)² − 5 = 16² − 5 = 256 − 5 = 251
C = 1² + 2² = 1 + 4 = 5
D = (1 + 2)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : 3x² = 3 × 3² = 3 × 9 = 27
Pour x = 0,5 : 3x² = 3 × 0,5² = 3 × 0,25 = 0,75
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
3 × 2 = 6
a) Il faut 6 carreaux le long d'un côté.
6 rangées de 6 carreaux : 6² = 6 × 6 = 36
b) Il faut 36 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 62. » → encore 60 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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