Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (7 + 2) × 7 = 9 × 7 = 63
B = 7 + 2 × 7 = 7 + 14 = 21
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6 + 8 × 3 est une somme : c'est la somme de 6 et du produit de 8 par 3.
D = (10 + 7) × 9 est un produit : c'est le produit de la somme de 10 et 7 par 9.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 108 = 756 ≤ 760 < 763 = 7 × 109 : le quotient est 108, le reste 760 − 756 = 4.
760 = 7 × 108 + 4, avec 4 < 7.
22 × 54 = 1 188 ≤ 1 192 < 1 210 = 22 × 55 : le quotient est 54, le reste 1 192 − 1 188 = 4.
1 192 = 22 × 54 + 4, avec 4 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 532 = 15 × 34 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(b) 532 = 15 × 36 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 532 = 15 × 35 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 35, reste 7.
Comme 7 < 35 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 532 par 35 : quotient 15, reste 7.
3. 108 = 8 × 13 + 4, avec 4 < 8
a) Chaque joueur reçoit 13 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 617 | non | oui | non | oui | non |
| 4 306 | oui | non | non | non | non |
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 785 | non | non | oui | non | non |
| 2 540 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
4 617 → 4 + 6 + 1 + 7 = 18 4 306 → 4 + 3 + 0 + 6 = 13 681 → 6 + 8 + 1 = 15
785 → 7 + 8 + 5 = 20 2 540 → 2 + 5 + 4 + 0 = 11
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 9 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 5 : 15 ; □ = 8 : 18
3 solutions : 129, 159, 189.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 23 se termine par 3, mais 23 = 3 × 7 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 3 est un diviseur de 38. » Faux. 38 = 3 × 12 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 23 + 5 × 9 = 23 + 45 = 68
B = 40 ÷ 8 × 3 = 5 × 3 = 15
C = (10 + 12) × 3 − 2 = 22 × 3 − 2 = 66 − 2 = 64
D = 4 × [36 − (4 + 7)] = 4 × [36 − 11] = 4 × 25 = 100
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (2 + 4) − 7 = 9 × 6 − 7 = 54 − 7 = 47
8 × (8 + 7) − 3 = 8 × 15 − 3 = 120 − 3 = 117
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 88 + 3,45 + 12 = 88 + 12 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 19 × 11 = 19 × (10 + 1) = 19 × 10 + 19 × 1 = 190 + 19 = 209
G = 40 × 12 + 40 × 88 = 40 × (12 + 88) = 40 × 100 = 4 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 0,4 × 0,4 = 0,4² 9 × 9 = 9²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
40 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 40 < 49 = 7²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 141 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 141 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 9 = 5 × 4 − 9 = 20 − 9 = 11
B = (5 × 2)² − 9 = 10² − 9 = 100 − 9 = 91
C = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
D = (1 + 6)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 3 = 1² + 3 = 1 + 3 = 4 et 4x = 4 × 1 = 4.
4 = 4 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Pour x = 7 : x² + 3 = 7² + 3 = 49 + 3 = 52 et 4x = 4 × 7 = 28.
52 ≠ 28 : l'égalité est fausse pour x = 7.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 3, et seulement pour 1 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 82 :
9² = 81 ≤ 82 et 10² = 100 > 82.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
82 − 81 = 1
b) Il lui restera 1 dalle.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 2 et 60. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Mon chiffre des unités est 7. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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