Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 26 − 5 × 4 = 26 − 20 = 6
B = (26 − 5) × 4 = 21 × 4 = 84
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
D = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
E = (2 + 16) ÷ 2 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 2 et 16 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 121 = 968 ≤ 973 < 976 = 8 × 122 : le quotient est 121, le reste 973 − 968 = 5.
973 = 8 × 121 + 5, avec 5 < 8.
23 × 51 = 1 173 ≤ 1 186 < 1 196 = 23 × 52 : le quotient est 51, le reste 1 186 − 1 173 = 13.
1 186 = 23 × 51 + 13, avec 13 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 268 = 15 × 18 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 268 = 15 × 16 + 28 : le « reste » 28 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 268 = 15 × 17 + 13 : le reste 13 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 17, reste 13.
Comme 13 < 17 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 268 par 17 : quotient 15, reste 13.
3. 55 = 9 × 6 + 1
6 minibus pleins transportent 54 élèves ; il en reste 1 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 1 = 8 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 690 | oui | oui | oui | non | oui |
| 8 811 | non | oui | non | oui | non |
| 4 762 | oui | non | non | non | non |
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 815 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
6 690 → 6 + 6 + 9 + 0 = 21 8 811 → 8 + 8 + 1 + 1 = 18 4 762 → 4 + 7 + 6 + 2 = 19
777 → 7 + 7 + 7 = 21 815 → 8 + 1 + 5 = 14
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 7 + 0 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 8 : 15
2 solutions : 702, 708.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 56 est pair mais 56 = 3 × 18 + 2.
« 71 est un multiple de 6. » Faux. 71 = 6 × 11 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 69 − 6 × 2 = 69 − 12 = 57
B = 16 + 63 ÷ 7 × 2 = 16 + 9 × 2 = 16 + 18 = 34
C = (8 + 3) × 5 − 9 = 11 × 5 − 9 = 55 − 9 = 46
D = 4 × [40 − (5 + 3)] = 4 × [40 − 8] = 4 × 32 = 128
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 + 6 + 5) × 8 = (11 + 5) × 8 = 16 × 8 = 128
6 + 5 × (7 − 7) = 6 + 5 × 0 = 6 + 0 = 6
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,4 + 1,5 × 0,6 = 1,5 × (0,4 + 0,6) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 45 × 99 = 45 × (100 − 1) = 45 × 100 − 45 × 1 = 4 500 − 45 = 4 455
G = 5 × 45 × 20 = 5 × 20 × 45 = 100 × 45 = 4 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 11 × 11 = 11² 0,4 × 0,4 = 0,4² 3 × 3 × 3 = 3³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (2 + 5)² = 2² + 5² » Faux. (2 + 5)² = 7² = 49, alors que 2² + 5² = 4 + 25 = 29.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²)
42 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 42 < 49 = 7²) 47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²)
100 = 10² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 1 = 4 × 16 − 1 = 64 − 1 = 63
B = (4 × 4)² − 1 = 16² − 1 = 256 − 1 = 255
C = 7² + 2² = 49 + 4 = 53
D = (7 + 2)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 4 = 5 × 5² − 4 = 5 × 25 − 4 = 125 − 4 = 121
B = (5x)² − 4 = (5 × 5)² − 4 = 25² − 4 = 625 − 4 = 621
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 : 7 × 7 = 49, c'est-à-dire 7² = 49.
a) Le côté mesure 7 m.
4 × 7 = 28
b) Le périmètre est de 28 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 167 et 223. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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