Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 6)² = 12² = 144
B = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 58 − 7 × 6 est une différence : c'est la différence entre 58 et le produit de 7 par 6.
D = (7 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 7 et 2.
E = 18 + 8 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 18 et du quotient de 8 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 29 = 261 ≤ 265 < 270 = 9 × 30 : le quotient est 29, le reste 265 − 261 = 4.
265 = 9 × 29 + 4, avec 4 < 9.
12 × 180 = 2 160 ≤ 2 162 < 2 172 = 12 × 181 : le quotient est 180, le reste 2 162 − 2 160 = 2.
2 162 = 12 × 180 + 2, avec 2 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 106 = 7 × 16 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 106 = 7 × 15 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 106 = 7 × 14 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 15, reste 1.
Comme 1 < 15 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 106 par 15 : quotient 7, reste 1.
3. 400 = 30 × 13 + 10
En 13 soirs, elle lit 390 pages ; il lui en reste encore 10.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 10 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 137 | non | oui | non | oui | non |
| 327 | non | oui | non | non | non |
| 8 870 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 666 | oui | non | non | non | non |
| 865 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
7 137 → 7 + 1 + 3 + 7 = 18 327 → 3 + 2 + 7 = 12 8 870 → 8 + 8 + 7 + 0 = 23
2 666 → 2 + 6 + 6 + 6 = 20 865 → 8 + 6 + 5 = 19
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 7 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 6 : 18
Une seule solution : 567.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 86 est pair mais 86 = 3 × 28 + 2.
« 6 est un diviseur de 102. » Vrai. 102 = 6 × 17 : le reste de la division de 102 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 − 4 + 9 = 17 + 9 = 26
B = 7 × 3 − 2 × 5 = 21 − 10 = 11
C = (7 + 3) × 5 − 12 = 10 × 5 − 12 = 50 − 12 = 38
D = 8,1 + 2 × 0,5 = 8,1 + 1 = 9,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 + 2 × (3 + 3) = 3 + 2 × 6 = 3 + 12 = 15
3 × (2 + 8) − 4 = 3 × 10 − 4 = 30 − 4 = 26
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 31 × 17 + 31 × 83 = 31 × (17 + 83) = 31 × 100 = 3 100
F = 2 × 88 × 5 = 2 × 5 × 88 = 10 × 88 = 880
G = 47 × 11 = 47 × (10 + 1) = 47 × 10 + 47 × 1 = 470 + 47 = 517
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 3 × 3 × 3 = 3³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4 × 6² = 24² » Faux. 4 × 6² = 4 × 36 = 144, alors que 24² = 576. Le carré ne porte que sur 6.
« (2 + 3)² = 2² + 3² » Faux. (2 + 3)² = 5² = 25, alors que 2² + 3² = 4 + 9 = 13.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
139 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 139 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 8 = 3 × 16 − 8 = 48 − 8 = 40
B = (3 × 4)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
C = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
D = (2 + 4)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : n³ + 5 = 3³ + 5 = 27 + 5 = 32
Pour n = 10 : n³ + 5 = 10³ + 5 = 1 000 + 5 = 1 005
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 400 : 20 × 20 = 400, c'est-à-dire 20² = 400.
a) Le côté mesure 20 m.
4 × 20 = 80
b) Le périmètre est de 80 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 84 et 144. » → encore 59 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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