Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 8) × 5 = 12 × 5 = 60
B = 4 + 8 × 5 = 4 + 40 = 44
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
D = 2² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 3.
E = 3 × 8² − 18 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 8 et 18.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 249 = 996 ≤ 999 < 1 000 = 4 × 250 : le quotient est 249, le reste 999 − 996 = 3.
999 = 4 × 249 + 3, avec 3 < 4.
14 × 104 = 1 456 ≤ 1 458 < 1 470 = 14 × 105 : le quotient est 104, le reste 1 458 − 1 456 = 2.
1 458 = 14 × 104 + 2, avec 2 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 274 = 10 × 27 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 10. ✔
(b) 274 = 10 × 28 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 274 = 10 × 26 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 27, reste 4.
Comme 4 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 274 par 27 : quotient 10, reste 4.
3. 131 = 25 × 5 + 6
En 5 soirs, elle lit 125 pages ; il lui en reste encore 6.
a) Il lui faut 5 + 1 = 6 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 6 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 755 | non | non | oui | non | non |
| 3 520 | oui | non | oui | non | oui |
| 9 549 | non | oui | non | oui | non |
| 597 | non | oui | non | non | non |
| 1 414 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
755 → 7 + 5 + 5 = 17 3 520 → 3 + 5 + 2 + 0 = 10 9 549 → 9 + 5 + 4 + 9 = 27
597 → 5 + 9 + 7 = 21 1 414 → 1 + 4 + 1 + 4 = 10
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 5 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 3 : 9 ; □ = 6 : 12 ; □ = 9 : 15
4 solutions : 105, 135, 165, 195.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 40 est pair mais 40 = 3 × 13 + 1.
« 104 est un multiple de 7. » Faux. 104 = 7 × 14 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 51 − 4 + 15 = 47 + 15 = 62
B = 8 + 9 ÷ 3 × 2 = 8 + 3 × 2 = 8 + 6 = 14
C = 62 − 5 × (17 − 8) = 62 − 5 × 9 = 62 − 45 = 17
D = 1,6 + 5 × 1,5 = 1,6 + 7,5 = 9,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (8 + 3 + 2) = 5 × (11 + 2) = 5 × 13 = 65
3 × (3 + 8) + 5 = 3 × 11 + 5 = 33 + 5 = 38
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 98 × 50 = 2 × 50 × 98 = 100 × 98 = 9 800
F = 42 × 56 − 42 × 46 = 42 × (56 − 46) = 42 × 10 = 420
G = 40 × 11 = 40 × (10 + 1) = 40 × 10 + 40 × 1 = 400 + 40 = 440
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 8 × 8 = 8²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 33 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 33 < 36 = 6²)
42 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 42 < 49 = 7²) 125 = 5³ : cube
128 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 128 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 2 = 2 × 16 − 2 = 32 − 2 = 30
B = (2 × 4)² − 2 = 8² − 2 = 64 − 2 = 62
C = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
D = (5 + 2)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 4 = 4 × 3² − 4 = 4 × 9 − 4 = 36 − 4 = 32
B = (4a)² − 4 = (4 × 3)² − 4 = 12² − 4 = 144 − 4 = 140
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 53 et 120. » → encore 66 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 64, 81.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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