Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 14 + 3 × 8 = 14 + 24 = 38
B = (14 + 3) × 8 = 17 × 8 = 136
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (8 + 4) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 8 et 4 par 4.
D = 3 × 9² − 3 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 9 et 3.
E = 5² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 65 = 585 ≤ 591 < 594 = 9 × 66 : le quotient est 65, le reste 591 − 585 = 6.
591 = 9 × 65 + 6, avec 6 < 9.
13 × 155 = 2 015 ≤ 2 016 < 2 028 = 13 × 156 : le quotient est 155, le reste 2 016 − 2 015 = 1.
2 016 = 13 × 155 + 1, avec 1 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 290 = 9 × 31 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 290 = 9 × 33 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 290 = 9 × 32 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 9. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 32, reste 2.
Comme 2 < 32 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 290 par 32 : quotient 9, reste 2.
3. 195 = 12 × 16 + 3, avec 3 < 12
a) Elle remplit 16 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 2 007 | non | oui | non | oui | non |
| 4 360 | oui | non | oui | non | oui |
| 9 484 | oui | non | non | non | non |
| 215 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
417 → 4 + 1 + 7 = 12 2 007 → 2 + 0 + 0 + 7 = 9 4 360 → 4 + 3 + 6 + 0 = 13
9 484 → 9 + 4 + 8 + 4 = 25 215 → 2 + 1 + 5 = 8
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 7 + 0 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 8 : 15
2 solutions : 702, 708.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 68 est pair mais 68 = 3 × 22 + 2.
« 45 est un multiple de 3. » Vrai. 45 = 3 × 15 : le reste de la division de 45 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 46 − 10 + 10 = 36 + 10 = 46
B = 36 ÷ 6 × 5 = 6 × 5 = 30
C = 71 − 5 × (14 − 8) = 71 − 5 × 6 = 71 − 30 = 41
D = 7,8 + 5 × 0,5 = 7,8 + 2,5 = 10,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 − (4 + 3) + 5 = 8 − 7 + 5 = 1 + 5 = 6
(6 + 9 − 7) × 2 = (15 − 7) × 2 = 8 × 2 = 16
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 38 × 99 = 38 × (100 − 1) = 38 × 100 − 38 × 1 = 3 800 − 38 = 3 762
F = 38 × 64 + 38 × 36 = 38 × (64 + 36) = 38 × 100 = 3 800
G = 8 × 45 × 125 = 8 × 125 × 45 = 1 000 × 45 = 45 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 11 × 11 = 11² 0,7 × 0,7 = 0,7² 6 × 6 × 6 = 6³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (4 + 2)² = 4² + 2² » Faux. (4 + 2)² = 6² = 36, alors que 4² + 2² = 16 + 4 = 20.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 49 = 7² : carré
61 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 61 < 64 = 8²) 131 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 131 < 144 = 12²)
150 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 150 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 5 = 5 × 4 − 5 = 20 − 5 = 15
B = (5 × 2)² − 5 = 10² − 5 = 100 − 5 = 95
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : 2a³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 192 et 245. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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