Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (1 + 4)² = 5² = 25
B = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 3) × 6 est un produit : c'est le produit de la somme de 2 et 3 par 6.
D = 4 × 8² − 13 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 8 et 13.
E = 13 + 56 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 13 et du quotient de 56 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 38 = 304 ≤ 307 < 312 = 8 × 39 : le quotient est 38, le reste 307 − 304 = 3.
307 = 8 × 38 + 3, avec 3 < 8.
29 × 18 = 522 ≤ 531 < 551 = 29 × 19 : le quotient est 18, le reste 531 − 522 = 9.
531 = 29 × 18 + 9, avec 9 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 174 = 9 × 20 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 174 = 9 × 18 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 174 = 9 × 19 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 9. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 19, reste 3.
Comme 3 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 174 par 19 : quotient 9, reste 3.
3. 309 = 25 × 12 + 9
En 12 soirs, elle lit 300 pages ; il lui en reste encore 9.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 9 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 760 | oui | non | oui | non | oui |
| 955 | non | non | oui | non | non |
| 9 153 | non | oui | non | oui | non |
| 5 516 | oui | non | non | non | non |
| 291 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 760 → 3 + 7 + 6 + 0 = 16 955 → 9 + 5 + 5 = 19 9 153 → 9 + 1 + 5 + 3 = 18
5 516 → 5 + 5 + 1 + 6 = 17 291 → 2 + 9 + 1 = 12
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 6 + 9 + □ = 15 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 15 ; □ = 6 : 21
2 solutions : 690, 696.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 74 est pair mais 74 = 3 × 24 + 2.
« 4 est un diviseur de 85. » Faux. 85 = 4 × 21 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 44 − 14 + 5 = 30 + 5 = 35
B = 6 × 5 − 2 × 2 = 30 − 4 = 26
C = (9 × 3 − 5) ÷ 2 = (27 − 5) ÷ 2 = 22 ÷ 2 = 11
D = 5 × [33 − (4 + 9)] = 5 × [33 − 13] = 5 × 20 = 100
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × 8 − (6 + 4) = 2 × 8 − 10 = 16 − 10 = 6
(5 + 5 × 8) × 2 = (5 + 40) × 2 = 45 × 2 = 90
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 31 + 7,8 + 69 = 31 + 69 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 21 × 101 = 21 × (100 + 1) = 21 × 100 + 21 × 1 = 2 100 + 21 = 2 121
G = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 9 × 9 = 9² 2 × 2 × 2 = 2³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (3 + 2)² = 3² + 2² » Faux. (3 + 2)² = 5² = 25, alors que 3² + 2² = 9 + 4 = 13.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
20 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 20 < 25 = 5²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 86 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 86 < 100 = 10²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 2 = 5 × 25 − 2 = 125 − 2 = 123
B = (5 × 5)² − 2 = 25² − 2 = 625 − 2 = 623
C = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
D = (6 + 5)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 2 : a³ + 3 = 2³ + 3 = 8 + 3 = 11
Pour a = 10 : a³ + 3 = 10³ + 3 = 1 000 + 3 = 1 003
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 400 : 20 × 20 = 400, c'est-à-dire 20² = 400.
a) Le côté mesure 20 m.
4 × 20 = 80
b) Le périmètre est de 80 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 110 et 154. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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