Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (20 − 4) × 4 = 16 × 4 = 64
B = 20 − 4 × 4 = 20 − 16 = 4
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 33 − 2 × 7 est une différence : c'est la différence entre 33 et le produit de 2 par 7.
D = 2² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 7.
E = 4 × (17 − 11) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 17 et 11.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 109 = 763 ≤ 765 < 770 = 7 × 110 : le quotient est 109, le reste 765 − 763 = 2.
765 = 7 × 109 + 2, avec 2 < 7.
18 × 135 = 2 430 ≤ 2 447 < 2 448 = 18 × 136 : le quotient est 135, le reste 2 447 − 2 430 = 17.
2 447 = 18 × 135 + 17, avec 17 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 116 = 8 × 15 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 116 = 8 × 14 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 116 = 8 × 13 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 14, reste 4.
Comme 4 < 14 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 116 par 14 : quotient 8, reste 4.
3. 52 = 5 × 10 + 2, avec 2 < 5
a) Chaque joueur reçoit 10 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 890 | oui | non | oui | non | oui |
| 321 | non | oui | non | non | non |
| 2 007 | non | oui | non | oui | non |
| 265 | non | non | oui | non | non |
| 6 116 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 890 → 9 + 8 + 9 + 0 = 26 321 → 3 + 2 + 1 = 6 2 007 → 2 + 0 + 0 + 7 = 9
265 → 2 + 6 + 5 = 13 6 116 → 6 + 1 + 1 + 6 = 14
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 4 + 8 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 6 : 18
2 solutions : 480, 486.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 84 est divisible par 3 (84 = 3 × 28) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 8 est un diviseur de 97. » Faux. 97 = 8 × 12 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 78 − 2 × 5 = 78 − 10 = 68
B = 7 × 6 − 2 × 3 = 42 − 6 = 36
C = (8 + 3) × 4 − 8 = 11 × 4 − 8 = 44 − 8 = 36
D = 2 × [25 − (9 + 2)] = 2 × [25 − 11] = 2 × 14 = 28
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (7 + 5) + 8 = 7 × 12 + 8 = 84 + 8 = 92
3 × (5 × 3 + 2) = 3 × (15 + 2) = 3 × 17 = 51
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 × 9 = 45 × (10 − 1) = 45 × 10 − 45 × 1 = 450 − 45 = 405
F = 2,7 × 0,25 + 2,7 × 0,75 = 2,7 × (0,25 + 0,75) = 2,7 × 1 = 2,7
G = 36 + 3,45 + 64 = 36 + 64 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 0,7 × 0,7 = 0,7² 12 × 12 = 12²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (4 + 3)² = 4² + 3² » Faux. (4 + 3)² = 7² = 49, alors que 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 49 = 7² : carré
52 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 52 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 2 = 2 × 9 − 2 = 18 − 2 = 16
B = (2 × 3)² − 2 = 6² − 2 = 36 − 2 = 34
C = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
D = (5 + 4)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 6 = 1² + 6 = 1 + 6 = 7 et 7x = 7 × 1 = 7.
7 = 7 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Pour x = 5 : x² + 6 = 5² + 6 = 25 + 6 = 31 et 7x = 7 × 5 = 35.
31 ≠ 35 : l'égalité est fausse pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 6, et seulement pour 1 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 : 7 × 7 = 49, c'est-à-dire 7² = 49.
a) Le côté mesure 7 m.
4 × 7 = 28
b) Le périmètre est de 28 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 61 et 120. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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