Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 7 − 3 × 2 = 7 − 6 = 1
B = (7 − 3) × 2 = 4 × 2 = 8
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8 + 3 × 3 est une somme : c'est la somme de 8 et du produit de 3 par 3.
D = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
E = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 19 = 114 ≤ 117 < 120 = 6 × 20 : le quotient est 19, le reste 117 − 114 = 3.
117 = 6 × 19 + 3, avec 3 < 6.
15 × 155 = 2 325 ≤ 2 329 < 2 340 = 15 × 156 : le quotient est 155, le reste 2 329 − 2 325 = 4.
2 329 = 15 × 155 + 4, avec 4 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 520 = 14 × 38 − 12 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 520 = 14 × 36 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 520 = 14 × 37 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 37, reste 2.
Comme 2 < 37 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 520 par 37 : quotient 14, reste 2.
3. 116 = 15 × 7 + 11
En 7 soirs, elle lit 105 pages ; il lui en reste encore 11.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 11 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 789 | non | oui | non | oui | non |
| 9 300 | oui | oui | oui | non | oui |
| 717 | non | oui | non | non | non |
| 145 | non | non | oui | non | non |
| 9 332 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 789 → 3 + 7 + 8 + 9 = 27 9 300 → 9 + 3 + 0 + 0 = 12 717 → 7 + 1 + 7 = 15
145 → 1 + 4 + 5 = 10 9 332 → 9 + 3 + 3 + 2 = 17
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 8 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 585.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 7 est un diviseur de 151. » Faux. 151 = 7 × 21 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 76 − 2 × 4 = 76 − 8 = 68
B = 9 × 2 − 3 × 5 = 18 − 15 = 3
C = (12 + 6) × 6 − 10 = 18 × 6 − 10 = 108 − 10 = 98
D = [8 + 2 × (11 − 3)] ÷ 2 = [8 + 2 × 8] ÷ 2 = [8 + 16] ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × 7 − (7 − 5) = 6 × 7 − 2 = 42 − 2 = 40
6 × 8 × (8 − 7) = 6 × 8 × 1 = 48 × 1 = 48
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 21 × 101 = 21 × (100 + 1) = 21 × 100 + 21 × 1 = 2 100 + 21 = 2 121
F = 4 × 96 × 25 = 4 × 25 × 96 = 100 × 96 = 9 600
G = 36 × 68 − 36 × 58 = 36 × (68 − 58) = 36 × 10 = 360
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 = 3² 5 × 5 × 5 = 5³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 4 × 3² = 12² » Faux. 4 × 3² = 4 × 9 = 36, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 3.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
15 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 15 < 16 = 4²) 27 = 3³ : cube
34 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 34 < 36 = 6²) 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 8 = 5 × 4 − 8 = 20 − 8 = 12
B = (5 × 2)² − 8 = 10² − 8 = 100 − 8 = 92
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : a² + 7a = 4² + 7 × 4 = 16 + 7 × 4 = 16 + 28 = 44
Pour a = 10 : a² + 7a = 10² + 7 × 10 = 100 + 7 × 10 = 100 + 70 = 170
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 64 : 8 × 8 = 64, c'est-à-dire 8² = 64.
a) Le côté mesure 8 m.
4 × 8 = 32
b) Le périmètre est de 32 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 26 et 74. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.