Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 53 − 6 × 7 est une différence : c'est la différence entre 53 et le produit de 6 par 7.
D = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
E = (1 + 23) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 1 et 23 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 44 = 396 ≤ 398 < 405 = 9 × 45 : le quotient est 44, le reste 398 − 396 = 2.
398 = 9 × 44 + 2, avec 2 < 9.
23 × 91 = 2 093 ≤ 2 109 < 2 116 = 23 × 92 : le quotient est 91, le reste 2 109 − 2 093 = 16.
2 109 = 23 × 91 + 16, avec 16 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 317 = 12 × 25 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(b) 317 = 12 × 26 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 12. ✔
(c) 317 = 12 × 27 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 26, reste 5.
Comme 5 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 317 par 26 : quotient 12, reste 5.
3. 115 = 12 × 9 + 7, avec 7 < 12
a) Elle remplit 9 boîtes pleines.
b) Il reste 7 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 262 | oui | non | non | non | non |
| 3 610 | oui | non | oui | non | oui |
| 357 | non | oui | non | non | non |
| 4 887 | non | oui | non | oui | non |
| 455 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
4 262 → 4 + 2 + 6 + 2 = 14 3 610 → 3 + 6 + 1 + 0 = 10 357 → 3 + 5 + 7 = 15
4 887 → 4 + 8 + 8 + 7 = 27 455 → 4 + 5 + 5 = 14
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 6 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 9
Une seule solution : 216.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 75 est divisible par 3 (75 = 3 × 25) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 189 est un multiple de 7. » Vrai. 189 = 7 × 27 : le reste de la division de 189 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 9 + 7 × 7 = 9 + 49 = 58
B = 16 ÷ 8 × 2 = 2 × 2 = 4
C = (10 + 7) × 5 − 4 = 17 × 5 − 4 = 85 − 4 = 81
D = 4,7 + 4 × 2,5 = 4,7 + 10 = 14,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (6 − 5) − 6 = 6 × 1 − 6 = 6 − 6 = 0
4 × (2 + 6) + 5 = 4 × 8 + 5 = 32 + 5 = 37
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 × 82 − 45 × 72 = 45 × (82 − 72) = 45 × 10 = 450
F = 2 × 43 × 50 = 2 × 50 × 43 = 100 × 43 = 4 300
G = 12 × 11 = 12 × (10 + 1) = 12 × 10 + 12 × 1 = 120 + 12 = 132
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 5 × 5 × 5 = 5³ 4 × 4 = 4²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « (5 + 4)² = 5² + 4² » Faux. (5 + 4)² = 9² = 81, alors que 5² + 4² = 25 + 16 = 41.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²)
104 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 104 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 6 = 4 × 4 − 6 = 16 − 6 = 10
B = (4 × 2)² − 6 = 8² − 6 = 64 − 6 = 58
C = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
D = (4 + 1)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 1 = 2 × 4² − 1 = 2 × 16 − 1 = 32 − 1 = 31
B = (2a)² − 1 = (2 × 4)² − 1 = 8² − 1 = 64 − 1 = 63
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 68 :
8² = 64 ≤ 68 et 9² = 81 > 68.
a) Elle mettra 8 dalles sur chaque côté.
68 − 64 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 4 et 73. » → encore 68 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16, 25, 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 16, 36, 64.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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