Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 31 − 6 × 4 = 31 − 24 = 7
B = (31 − 6) × 4 = 25 × 4 = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
D = 11 + 12 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 11 et du quotient de 12 par 4.
E = 3 × 6² − 20 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 6 et 20.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 35 = 315 ≤ 323 < 324 = 9 × 36 : le quotient est 35, le reste 323 − 315 = 8.
323 = 9 × 35 + 8, avec 8 < 9.
23 × 38 = 874 ≤ 887 < 897 = 23 × 39 : le quotient est 38, le reste 887 − 874 = 13.
887 = 23 × 38 + 13, avec 13 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 165 = 7 × 23 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 7. ✔
(b) 165 = 7 × 24 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 165 = 7 × 22 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 23, reste 4.
Comme 4 < 23 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 165 par 23 : quotient 7, reste 4.
3. 54 = 16 × 3 + 6
3 minibus pleins transportent 48 élèves ; il en reste 6 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 6 = 10 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 245 | non | non | oui | non | non |
| 5 200 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 332 | oui | non | non | non | non |
| 9 729 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
417 → 4 + 1 + 7 = 12 245 → 2 + 4 + 5 = 11 5 200 → 5 + 2 + 0 + 0 = 7
3 332 → 3 + 3 + 3 + 2 = 11 9 729 → 9 + 7 + 2 + 9 = 27
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 2 + □ = 4 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 6 ; □ = 8 : 12
2 solutions : 222, 228.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 33 est divisible par 3 (33 = 3 × 11) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 46. » Faux. 46 = 4 × 11 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 + 3 × 6 = 24 + 18 = 42
B = 20 + 18 ÷ 6 × 2 = 20 + 3 × 2 = 20 + 6 = 26
C = 78 − 5 × (13 − 4) = 78 − 5 × 9 = 78 − 45 = 33
D = [6 + 3 × (11 − 1)] ÷ 2 = [6 + 3 × 10] ÷ 2 = [6 + 30] ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 + 6 − (4 − 2) = 2 + 6 − 2 = 8 − 2 = 6
5 × (5 × 3 + 4) = 5 × (15 + 4) = 5 × 19 = 95
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 75 + 7,8 + 25 = 75 + 25 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 46 × 9 = 46 × (10 − 1) = 46 × 10 − 46 × 1 = 460 − 46 = 414
G = 4,5 × 0,8 + 4,5 × 0,2 = 4,5 × (0,8 + 0,2) = 4,5 × 1 = 4,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 4 × 4 × 4 = 4³ 4 × 4 = 4²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 25 = 5² : carré
47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²) 105 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 105 < 121 = 11²)
107 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 107 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 2 = 3 × 36 − 2 = 108 − 2 = 106
B = (3 × 6)² − 2 = 18² − 2 = 324 − 2 = 322
C = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
D = (1 + 6)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 6 = 2 × 4² − 6 = 2 × 16 − 6 = 32 − 6 = 26
B = (2a)² − 6 = (2 × 4)² − 6 = 8² − 6 = 64 − 6 = 58
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 68 :
8² = 64 ≤ 68 et 9² = 81 > 68.
a) Elle mettra 8 dalles sur chaque côté.
68 − 64 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 97 et 146. » → encore 48 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 121, 144.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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