Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (20 + 16) ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9
B = 20 + 16 ÷ 4 = 20 + 4 = 24
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 3² est un produit : c'est le double du carré de 3.
D = 25 − 5 × 2 est une différence : c'est la différence entre 25 et le produit de 5 par 2.
E = (3 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 33 = 165 ≤ 169 < 170 = 5 × 34 : le quotient est 33, le reste 169 − 165 = 4.
169 = 5 × 33 + 4, avec 4 < 5.
14 × 80 = 1 120 ≤ 1 121 < 1 134 = 14 × 81 : le quotient est 80, le reste 1 121 − 1 120 = 1.
1 121 = 14 × 80 + 1, avec 1 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 430 = 14 × 31 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 430 = 14 × 30 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 430 = 14 × 29 + 24 : le « reste » 24 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 30, reste 10.
Comme 10 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 430 par 30 : quotient 14, reste 10.
3. 136 = 7 × 19 + 3
a) 136 jours font 19 semaines complètes et 3 jours.
Après 19 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 3 jours : dimanche → lundi → mardi → mercredi.
b) Dans 136 jours, nous serons mercredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 951 | non | oui | non | oui | non |
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 9 120 | oui | oui | oui | non | oui |
| 5 956 | oui | non | non | non | non |
| 125 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
3 951 → 3 + 9 + 5 + 1 = 18 471 → 4 + 7 + 1 = 12 9 120 → 9 + 1 + 2 + 0 = 12
5 956 → 5 + 9 + 5 + 6 = 25 125 → 1 + 2 + 5 = 8
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 5 + □ = 14 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 954.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 9 est un diviseur de 174. » Faux. 174 = 9 × 19 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 9 + 7 × 2 = 9 + 14 = 23
B = 2 × 8 − 3 × 4 = 16 − 12 = 4
C = 99 − 5 × (11 − 7) = 99 − 5 × 4 = 99 − 20 = 79
D = 6,7 + 3 × 2,5 = 6,7 + 7,5 = 14,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 + 4) × 7 + 2 = 13 × 7 + 2 = 91 + 2 = 93
5 × (6 × 5 + 7) = 5 × (30 + 7) = 5 × 37 = 185
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 14 × 59 + 14 × 41 = 14 × (59 + 41) = 14 × 100 = 1 400
F = 30 + 0,75 + 70 = 30 + 70 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 16 × 9 = 16 × (10 − 1) = 16 × 10 − 16 × 1 = 160 − 16 = 144
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 11 × 11 = 11² 2 × 2 × 2 = 2³ 0,7 × 0,7 = 0,7²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 3 × 4² = 12² » Faux. 3 × 4² = 3 × 16 = 48, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 4.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
42 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 42 < 49 = 7²) 81 = 9² : carré
90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²) 150 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 150 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 6 = 3 × 25 − 6 = 75 − 6 = 69
B = (3 × 5)² − 6 = 15² − 6 = 225 − 6 = 219
C = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
D = (1 + 6)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 6 : x² + 4x = 6² + 4 × 6 = 36 + 4 × 6 = 36 + 24 = 60
Pour x = 10 : x² + 4x = 10² + 4 × 10 = 100 + 4 × 10 = 100 + 40 = 140
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 166 et 218. » → encore 51 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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