Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 28 − 4 × 5 = 28 − 20 = 8
B = (28 − 4) × 5 = 24 × 5 = 120
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 8 et de 4.
D = (5 + 9) × 6 est un produit : c'est le produit de la somme de 5 et 9 par 6.
E = 32 − 3 × 5 est une différence : c'est la différence entre 32 et le produit de 3 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 16 = 112 ≤ 118 < 119 = 7 × 17 : le quotient est 16, le reste 118 − 112 = 6.
118 = 7 × 16 + 6, avec 6 < 7.
25 × 24 = 600 ≤ 604 < 625 = 25 × 25 : le quotient est 24, le reste 604 − 600 = 4.
604 = 25 × 24 + 4, avec 4 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 114 = 11 × 10 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 114 = 11 × 9 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 114 = 11 × 11 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 10, reste 4.
Comme 4 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 114 par 10 : quotient 11, reste 4.
3. 177 = 6 × 29 + 3, avec 3 < 6
a) Elle remplit 29 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 107 | non | oui | non | oui | non |
| 3 320 | oui | non | oui | non | oui |
| 267 | non | oui | non | non | non |
| 2 636 | oui | non | non | non | non |
| 505 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
1 107 → 1 + 1 + 0 + 7 = 9 3 320 → 3 + 3 + 2 + 0 = 8 267 → 2 + 6 + 7 = 15
2 636 → 2 + 6 + 3 + 6 = 17 505 → 5 + 0 + 5 = 10
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 2 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 822, 828.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 648, somme des chiffres 18.
« 6 est un diviseur de 102. » Vrai. 102 = 6 × 17 : le reste de la division de 102 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 73 − 2 × 9 = 73 − 18 = 55
B = 8 + 27 ÷ 3 × 2 = 8 + 9 × 2 = 8 + 18 = 26
C = (3 + 10) × 3 − 19 = 13 × 3 − 19 = 39 − 19 = 20
D = 5 × [32 − (6 + 8)] = 5 × [32 − 14] = 5 × 18 = 90
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (5 × 3 − 7) = 8 × (15 − 7) = 8 × 8 = 64
(7 − 5 + 5) × 6 = (2 + 5) × 6 = 7 × 6 = 42
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 43 × 99 = 43 × (100 − 1) = 43 × 100 − 43 × 1 = 4 300 − 43 = 4 257
F = 3,6 × 0,8 + 3,6 × 0,2 = 3,6 × (0,8 + 0,2) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 4 × 56 × 25 = 4 × 25 × 56 = 100 × 56 = 5 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 6 × 6 = 6² 4 × 4 × 4 = 4³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (4 + 3)² = 4² + 3² » Faux. (4 + 3)² = 7² = 49, alors que 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
88 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 88 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
116 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 116 < 121 = 11²) 124 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 124 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 4 = 4 × 36 − 4 = 144 − 4 = 140
B = (4 × 6)² − 4 = 24² − 4 = 576 − 4 = 572
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 5 : 8n² = 8 × 5² = 8 × 25 = 200
Pour n = 0,5 : 8n² = 8 × 0,5² = 8 × 0,25 = 2
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 45 et 98. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49, 81.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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