Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (10 + 3) × 9 = 13 × 9 = 117
B = 10 + 3 × 9 = 10 + 27 = 37
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × (6 − 4) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 6 et 4.
D = 7 + 12 ÷ 2 est une somme : c'est la somme de 7 et du quotient de 12 par 2.
E = 40 − 4 × 6 est une différence : c'est la différence entre 40 et le produit de 4 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 199 = 796 ≤ 798 < 800 = 4 × 200 : le quotient est 199, le reste 798 − 796 = 2.
798 = 4 × 199 + 2, avec 2 < 4.
28 × 54 = 1 512 ≤ 1 535 < 1 540 = 28 × 55 : le quotient est 54, le reste 1 535 − 1 512 = 23.
1 535 = 28 × 54 + 23, avec 23 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 339 = 10 × 34 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 339 = 10 × 33 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 339 = 10 × 32 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 33, reste 9.
Comme 9 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 339 par 33 : quotient 10, reste 9.
3. 97 = 16 × 6 + 1
6 minibus pleins transportent 96 élèves ; il en reste 1 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 1 = 15 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 332 | oui | non | non | non | non |
| 1 197 | non | oui | non | oui | non |
| 7 680 | oui | oui | oui | non | oui |
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 957 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
5 332 → 5 + 3 + 3 + 2 = 13 1 197 → 1 + 1 + 9 + 7 = 18 7 680 → 7 + 6 + 8 + 0 = 21
565 → 5 + 6 + 5 = 16 957 → 9 + 5 + 7 = 21
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 6 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 765.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 43 est un multiple de 3. » Faux. 43 = 3 × 14 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 44 − 12 + 8 = 32 + 8 = 40
B = 5 × 6 − 5 × 6 = 30 − 30 = 0
C = (3 × 8 − 1) ÷ 2 = (24 − 1) ÷ 2 = 23 ÷ 2 = 11,5
D = 4 × [25 − (8 + 8)] = 4 × [25 − 16] = 4 × 9 = 36
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × 3 × (7 − 2) = 9 × 3 × 5 = 27 × 5 = 135
3 + 3 × (4 + 3) = 3 + 3 × 7 = 3 + 21 = 24
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 14 + 12,6 + 86 = 14 + 86 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 41 × 99 = 41 × (100 − 1) = 41 × 100 − 41 × 1 = 4 100 − 41 = 4 059
G = 2,7 × 0,25 + 2,7 × 0,75 = 2,7 × (0,25 + 0,75) = 2,7 × 1 = 2,7
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 6 × 6 × 6 = 6³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« (4 + 2)² = 4² + 2² » Faux. (4 + 2)² = 6² = 36, alors que 4² + 2² = 16 + 4 = 20.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
14 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 14 < 16 = 4²) 27 = 3³ : cube
87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
128 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 128 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 2 = 4 × 9 − 2 = 36 − 2 = 34
B = (4 × 3)² − 2 = 12² − 2 = 144 − 2 = 142
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 9 = 4 × 2² − 9 = 4 × 4 − 9 = 16 − 9 = 7
B = (4a)² − 9 = (4 × 2)² − 9 = 8² − 9 = 64 − 9 = 55
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 131 et 189. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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