Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (1 + 4)² = 5² = 25
B = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 8² − 1 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 8 et 1.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 17 + 21 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 17 et du quotient de 21 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 120 = 720 ≤ 722 < 726 = 6 × 121 : le quotient est 120, le reste 722 − 720 = 2.
722 = 6 × 120 + 2, avec 2 < 6.
18 × 134 = 2 412 ≤ 2 426 < 2 430 = 18 × 135 : le quotient est 134, le reste 2 426 − 2 412 = 14.
2 426 = 18 × 134 + 14, avec 14 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 428 = 15 × 29 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 428 = 15 × 28 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 15. ✔
(c) 428 = 15 × 27 + 23 : le « reste » 23 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 28, reste 8.
Comme 8 < 28 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 428 par 28 : quotient 15, reste 8.
3. 85 = 12 × 7 + 1
En 7 soirs, elle lit 84 pages ; il lui en reste encore 1.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 1 page.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 717 | non | oui | non | non | non |
| 955 | non | non | oui | non | non |
| 3 242 | oui | non | non | non | non |
| 7 533 | non | oui | non | oui | non |
| 1 400 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
717 → 7 + 1 + 7 = 15 955 → 9 + 5 + 5 = 19 3 242 → 3 + 2 + 4 + 2 = 11
7 533 → 7 + 5 + 3 + 3 = 18 1 400 → 1 + 4 + 0 + 0 = 5
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 3 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 5 : 12 ; □ = 8 : 15
3 solutions : 423, 453, 483.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 96 est divisible par 3 (96 = 3 × 32) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 105 est un multiple de 8. » Faux. 105 = 8 × 13 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 26 − 9 + 3 = 17 + 3 = 20
B = 8 × 8 − 3 × 5 = 64 − 15 = 49
C = (6 × 9 − 8) ÷ 5 = (54 − 8) ÷ 5 = 46 ÷ 5 = 9,2
D = 4,7 + 3 × 1,2 = 4,7 + 3,6 = 8,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (9 − 6) × 7 = 7 × 3 × 7 = 21 × 7 = 147
3 × (5 − 5 + 6) = 3 × (0 + 6) = 3 × 6 = 18
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 41 × 101 = 41 × (100 + 1) = 41 × 100 + 41 × 1 = 4 100 + 41 = 4 141
F = 37 × 73 − 37 × 63 = 37 × (73 − 63) = 37 × 10 = 370
G = 13 + 5,05 + 87 = 13 + 87 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 10 × 10 = 10²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« (5 + 3)² = 5² + 3² » Faux. (5 + 3)² = 8² = 64, alors que 5² + 3² = 25 + 9 = 34.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
10 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 10 < 16 = 4²) 49 = 7² : carré
121 = 11² : carré 145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²)
150 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 150 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 5 = 4 × 16 − 5 = 64 − 5 = 59
B = (4 × 4)² − 5 = 16² − 5 = 256 − 5 = 251
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 8 : n² + 6 = 8² + 6 = 64 + 6 = 70 et 7n = 7 × 8 = 56.
70 ≠ 56 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Pour n = 6 : n² + 6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42 et 7n = 7 × 6 = 42.
42 = 42 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 6 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 53. » → encore 51 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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