Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (42 + 12) ÷ 6 = 54 ÷ 6 = 9
B = 42 + 12 ÷ 6 = 42 + 2 = 44
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
D = 7² + 9² est une somme : c'est la somme des carrés de 7 et de 9.
E = (2 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 73 = 657 ≤ 661 < 666 = 9 × 74 : le quotient est 73, le reste 661 − 657 = 4.
661 = 9 × 73 + 4, avec 4 < 9.
15 × 79 = 1 185 ≤ 1 196 < 1 200 = 15 × 80 : le quotient est 79, le reste 1 196 − 1 185 = 11.
1 196 = 15 × 79 + 11, avec 11 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 189 = 6 × 32 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 189 = 6 × 31 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 189 = 6 × 30 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 31, reste 3.
Comme 3 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 189 par 31 : quotient 6, reste 3.
3. 338 = 7 × 48 + 2
a) 338 jours font 48 semaines complètes et 2 jours.
Après 48 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 2 jours : jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 338 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 305 | non | non | oui | non | non |
| 8 366 | oui | non | non | non | non |
| 7 353 | non | oui | non | oui | non |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 2 850 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
305 → 3 + 0 + 5 = 8 8 366 → 8 + 3 + 6 + 6 = 23 7 353 → 7 + 3 + 5 + 3 = 18
867 → 8 + 6 + 7 = 21 2 850 → 2 + 8 + 5 + 0 = 15
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 3 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 333.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 738, somme des chiffres 18.
« 8 est un diviseur de 88. » Vrai. 88 = 8 × 11 : le reste de la division de 88 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 47 − 6 × 2 = 47 − 12 = 35
B = 15 + 30 ÷ 5 × 2 = 15 + 6 × 2 = 15 + 12 = 27
C = (6 + 5) × 4 − 17 = 11 × 4 − 17 = 44 − 17 = 27
D = 3 × [25 − (4 + 3)] = 3 × [25 − 7] = 3 × 18 = 54
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (7 × 4 − 8) = 6 × (28 − 8) = 6 × 20 = 120
7 × (5 + 6 − 8) = 7 × (11 − 8) = 7 × 3 = 21
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 26 × 101 = 26 × (100 + 1) = 26 × 100 + 26 × 1 = 2 600 + 26 = 2 626
G = 2 × 95 × 50 = 2 × 50 × 95 = 100 × 95 = 9 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 0,7 × 0,7 = 0,7² 11 × 11 = 11²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « (1 + 4)² = 1² + 4² » Faux. (1 + 4)² = 5² = 25, alors que 1² + 4² = 1 + 16 = 17.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 30 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 30 < 36 = 6²)
39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²) 49 = 7² : carré
79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 1 = 2 × 4 − 1 = 8 − 1 = 7
B = (2 × 2)² − 1 = 4² − 1 = 16 − 1 = 15
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 1 = 2 × 3² − 1 = 2 × 9 − 1 = 18 − 1 = 17
B = (2x)² − 1 = (2 × 3)² − 1 = 6² − 1 = 36 − 1 = 35
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 83 et 160. » → encore 76 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 121, 144.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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