Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 + 3) × 6 = 5 × 6 = 30
B = 2 + 3 × 6 = 2 + 18 = 20
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × (10 − 2) est un produit : c'est le produit de 2 par la différence entre 10 et 2.
D = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
E = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 45 = 360 ≤ 362 < 368 = 8 × 46 : le quotient est 45, le reste 362 − 360 = 2.
362 = 8 × 45 + 2, avec 2 < 8.
12 × 102 = 1 224 ≤ 1 227 < 1 236 = 12 × 103 : le quotient est 102, le reste 1 227 − 1 224 = 3.
1 227 = 12 × 102 + 3, avec 3 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 314 = 10 × 32 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 314 = 10 × 31 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 314 = 10 × 30 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 31, reste 4.
Comme 4 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 314 par 31 : quotient 10, reste 4.
3. 102 = 7 × 14 + 4
a) 102 jours font 14 semaines complètes et 4 jours.
Après 14 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 4 jours : jeudi → vendredi → samedi → dimanche → lundi.
b) Dans 102 jours, nous serons lundi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 891 | non | oui | non | oui | non |
| 7 408 | oui | non | non | non | non |
| 807 | non | oui | non | non | non |
| 745 | non | non | oui | non | non |
| 2 040 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
9 891 → 9 + 8 + 9 + 1 = 27 7 408 → 7 + 4 + 0 + 8 = 19 807 → 8 + 0 + 7 = 15
745 → 7 + 4 + 5 = 16 2 040 → 2 + 0 + 4 + 0 = 6
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 2 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 6 ; □ = 4 : 9 ; □ = 7 : 12
3 solutions : 312, 342, 372.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 66 est divisible par 3 (66 = 3 × 22) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 108 est un multiple de 7. » Faux. 108 = 7 × 15 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 31 − 8 + 4 = 23 + 4 = 27
B = 5 × 4 − 2 × 4 = 20 − 8 = 12
C = (9 × 7 − 5) ÷ 2 = (63 − 5) ÷ 2 = 58 ÷ 2 = 29
D = [8 + 3 × (12 − 2)] ÷ 5 = [8 + 3 × 10] ÷ 5 = [8 + 30] ÷ 5 = 38 ÷ 5 = 7,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (8 + 6 − 7) = 5 × (14 − 7) = 5 × 7 = 35
8 × (6 − 6) × 4 = 8 × 0 × 4 = 0 × 4 = 0
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 65 + 5,05 + 35 = 65 + 35 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
F = 34 × 99 = 34 × (100 − 1) = 34 × 100 − 34 × 1 = 3 400 − 34 = 3 366
G = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 0,4 × 0,4 = 0,4² 12 × 12 = 12²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (5 + 1)² = 5² + 1² » Faux. (5 + 1)² = 6² = 36, alors que 5² + 1² = 25 + 1 = 26.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
37 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 37 < 49 = 7²) 49 = 7² : carré
55 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 55 < 64 = 8²) 77 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 77 < 81 = 9²)
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 5 = 4 × 9 − 5 = 36 − 5 = 31
B = (4 × 3)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 4 = 5 × 5² − 4 = 5 × 25 − 4 = 125 − 4 = 121
B = (5a)² − 4 = (5 × 5)² − 4 = 25² − 4 = 625 − 4 = 621
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 251 et 320. » → encore 68 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
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