Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 1)² = 4² = 16
B = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
D = (5 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 1.
E = 14 + 8 ÷ 2 est une somme : c'est la somme de 14 et du quotient de 8 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 149 = 745 ≤ 748 < 750 = 5 × 150 : le quotient est 149, le reste 748 − 745 = 3.
748 = 5 × 149 + 3, avec 3 < 5.
21 × 60 = 1 260 ≤ 1 277 < 1 281 = 21 × 61 : le quotient est 60, le reste 1 277 − 1 260 = 17.
1 277 = 21 × 60 + 17, avec 17 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 184 = 11 × 17 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 184 = 11 × 15 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 184 = 11 × 16 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 16, reste 8.
Comme 8 < 16 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 184 par 16 : quotient 11, reste 8.
3. 66 = 7 × 9 + 3
a) 66 jours font 9 semaines complètes et 3 jours.
Après 9 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 3 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 66 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 714 | oui | non | non | non | non |
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 1 400 | oui | non | oui | non | oui |
| 291 | non | oui | non | non | non |
| 4 491 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
8 714 → 8 + 7 + 1 + 4 = 20 565 → 5 + 6 + 5 = 16 1 400 → 1 + 4 + 0 + 0 = 5
291 → 2 + 9 + 1 = 12 4 491 → 4 + 4 + 9 + 1 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 9 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 195.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 39 est divisible par 3 (39 = 3 × 13) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 6 est un diviseur de 174. » Vrai. 174 = 6 × 29 : le reste de la division de 174 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 81 − 6 × 6 = 81 − 36 = 45
B = 9 ÷ 3 × 2 = 3 × 2 = 6
C = 99 − 2 × (12 − 7) = 99 − 2 × 5 = 99 − 10 = 89
D = 4 × [36 − (6 + 3)] = 4 × [36 − 9] = 4 × 27 = 108
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 + 4 × (9 + 9) = 2 + 4 × 18 = 2 + 72 = 74
(4 + 5 + 6) × 2 = (9 + 6) × 2 = 15 × 2 = 30
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 25 + 7,8 + 75 = 25 + 75 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 23 × 101 = 23 × (100 + 1) = 23 × 100 + 23 × 1 = 2 300 + 23 = 2 323
G = 1,5 × 1,3 + 1,5 × 8,7 = 1,5 × (1,3 + 8,7) = 1,5 × 10 = 15
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 0,4 × 0,4 = 0,4² 10 × 10 = 10²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « (2 + 4)² = 2² + 4² » Faux. (2 + 4)² = 6² = 36, alors que 2² + 4² = 4 + 16 = 20.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 49 = 7² : carré
52 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 52 < 64 = 8²) 70 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 70 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 98 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 98 < 100 = 10²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 8 = 5 × 36 − 8 = 180 − 8 = 172
B = (5 × 6)² − 8 = 30² − 8 = 900 − 8 = 892
C = 1² + 2² = 1 + 4 = 5
D = (1 + 2)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : n² + 6n = 2² + 6 × 2 = 4 + 6 × 2 = 4 + 12 = 16
Pour n = 10 : n² + 6n = 10² + 6 × 10 = 100 + 6 × 10 = 100 + 60 = 160
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 64 : 8 × 8 = 64, c'est-à-dire 8² = 64.
a) Le côté mesure 8 m.
4 × 8 = 32
b) Le périmètre est de 32 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 22 et 73. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 25, 49.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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