Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (13 + 4) × 4 = 17 × 4 = 68
B = 13 + 4 × 4 = 13 + 16 = 29
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 15 + 10 ÷ 5 est une somme : c'est la somme de 15 et du quotient de 10 par 5.
D = 5 × 7² − 5 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 7 et 5.
E = (20 + 4) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 20 et 4 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 198 = 792 ≤ 795 < 796 = 4 × 199 : le quotient est 198, le reste 795 − 792 = 3.
795 = 4 × 198 + 3, avec 3 < 4.
25 × 33 = 825 ≤ 838 < 850 = 25 × 34 : le quotient est 33, le reste 838 − 825 = 13.
838 = 25 × 33 + 13, avec 13 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 77 = 9 × 8 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 77 = 9 × 7 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 77 = 9 × 9 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 8, reste 5.
Comme 5 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 77 par 8 : quotient 9, reste 5.
3. 117 = 16 × 7 + 5
7 minibus pleins transportent 112 élèves ; il en reste 5 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 5 = 11 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 134 | oui | non | non | non | non |
| 4 311 | non | oui | non | oui | non |
| 7 530 | oui | oui | oui | non | oui |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 115 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
5 134 → 5 + 1 + 3 + 4 = 13 4 311 → 4 + 3 + 1 + 1 = 9 7 530 → 7 + 5 + 3 + 0 = 15
867 → 8 + 6 + 7 = 21 115 → 1 + 1 + 5 = 7
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 3 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 735.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 26 est pair mais 26 = 3 × 8 + 2.
« 3 est un diviseur de 62. » Faux. 62 = 3 × 20 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 7 + 3 × 9 = 7 + 27 = 34
B = 14 + 63 ÷ 7 × 3 = 14 + 9 × 3 = 14 + 27 = 41
C = 94 − 2 × (15 − 5) = 94 − 2 × 10 = 94 − 20 = 74
D = [7 + 7 × (10 − 1)] ÷ 5 = [7 + 7 × 9] ÷ 5 = [7 + 63] ÷ 5 = 70 ÷ 5 = 14
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (5 × 2 − 4) = 9 × (10 − 4) = 9 × 6 = 54
9 + 2 − (5 + 3) = 9 + 2 − 8 = 11 − 8 = 3
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 44 × 25 = 4 × 25 × 44 = 100 × 44 = 4 400
F = 42 × 28 + 42 × 72 = 42 × (28 + 72) = 42 × 100 = 4 200
G = 18 × 9 = 18 × (10 − 1) = 18 × 10 − 18 × 1 = 180 − 18 = 162
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 7 × 7 = 7² 5 × 5 × 5 = 5³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
56 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 56 < 64 = 8²) 66 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 66 < 81 = 9²)
100 = 10² : carré 121 = 11² : carré
142 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 142 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 8 = 2 × 16 − 8 = 32 − 8 = 24
B = (2 × 4)² − 8 = 8² − 8 = 64 − 8 = 56
C = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
D = (5 + 2)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 6 = 4 × 4² − 6 = 4 × 16 − 6 = 64 − 6 = 58
B = (4x)² − 6 = (4 × 4)² − 6 = 16² − 6 = 256 − 6 = 250
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 56 :
7² = 49 ≤ 56 et 8² = 64 > 56.
a) Elle mettra 7 dalles sur chaque côté.
56 − 49 = 7
b) Il lui restera 7 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 170 et 235. » → encore 64 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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