Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (27 − 4) × 4 = 23 × 4 = 92
B = 27 − 4 × 4 = 27 − 16 = 11
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = (11 + 13) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 11 et 13 par 8.
E = 32 − 4 × 3 est une différence : c'est la différence entre 32 et le produit de 4 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 72 = 576 ≤ 582 < 584 = 8 × 73 : le quotient est 72, le reste 582 − 576 = 6.
582 = 8 × 72 + 6, avec 6 < 8.
12 × 187 = 2 244 ≤ 2 252 < 2 256 = 12 × 188 : le quotient est 187, le reste 2 252 − 2 244 = 8.
2 252 = 12 × 187 + 8, avec 8 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 109 = 10 × 11 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 109 = 10 × 9 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(c) 109 = 10 × 10 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 10, reste 9.
Comme 9 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 109 par 10 : quotient 10, reste 9.
3. 70 = 8 × 8 + 6
8 minibus pleins transportent 64 élèves ; il en reste 6 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 8 + 1 = 9 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 6 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 540 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 082 | oui | non | non | non | non |
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 625 | non | non | oui | non | non |
| 6 867 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
1 540 → 1 + 5 + 4 + 0 = 10 4 082 → 4 + 0 + 8 + 2 = 14 681 → 6 + 8 + 1 = 15
625 → 6 + 2 + 5 = 13 6 867 → 6 + 8 + 6 + 7 = 27
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 5 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 855.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 30 est divisible par 3 (30 = 3 × 10) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 242 est un multiple de 8. » Faux. 242 = 8 × 30 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 51 − 5 × 8 = 51 − 40 = 11
B = 7 × 4 − 2 × 3 = 28 − 6 = 22
C = (4 + 8) × 4 − 20 = 12 × 4 − 20 = 48 − 20 = 28
D = [2 + 2 × (7 − 1)] ÷ 5 = [2 + 2 × 6] ÷ 5 = [2 + 12] ÷ 5 = 14 ÷ 5 = 2,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (4 + 2 + 3) = 8 × (6 + 3) = 8 × 9 = 72
8 − (5 + 5 − 7) = 8 − (10 − 7) = 8 − 3 = 5
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 38 × 9 = 38 × (10 − 1) = 38 × 10 − 38 × 1 = 380 − 38 = 342
F = 47 + 5,05 + 53 = 47 + 53 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
G = 17 × 69 + 17 × 31 = 17 × (69 + 31) = 17 × 100 = 1 700
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 9 × 9 = 9²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
18 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 18 < 25 = 5²) 39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²)
81 = 9² : carré 121 = 11² : carré
125 = 5³ : cube 148 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 148 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 2 = 4 × 25 − 2 = 100 − 2 = 98
B = (4 × 5)² − 2 = 20² − 2 = 400 − 2 = 398
C = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
D = (2 + 3)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 1 = 4 × 4² − 1 = 4 × 16 − 1 = 64 − 1 = 63
B = (4a)² − 1 = (4 × 4)² − 1 = 16² − 1 = 256 − 1 = 255
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 5² = π × 25 = 25π
a) L'aire exacte est 25π m².
25 × 3,14 = 78,5
b) L'aire vaut environ 79 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 5², et non (π × 5)². On élève 5 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 3 et 51. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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