Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 19 − 2 × 4 = 19 − 8 = 11
B = (19 − 2) × 4 = 17 × 4 = 68
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 2 et 3.
D = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
E = 10 + 5 × 4 est une somme : c'est la somme de 10 et du produit de 5 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 27 = 162 ≤ 165 < 168 = 6 × 28 : le quotient est 27, le reste 165 − 162 = 3.
165 = 6 × 27 + 3, avec 3 < 6.
25 × 85 = 2 125 ≤ 2 135 < 2 150 = 25 × 86 : le quotient est 85, le reste 2 135 − 2 125 = 10.
2 135 = 25 × 85 + 10, avec 10 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 250 = 12 × 19 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(b) 250 = 12 × 21 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 250 = 12 × 20 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 20, reste 10.
Comme 10 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 250 par 20 : quotient 12, reste 10.
3. 160 = 15 × 10 + 10
En 10 soirs, elle lit 150 pages ; il lui en reste encore 10.
a) Il lui faut 10 + 1 = 11 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 10 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 770 | oui | oui | oui | non | oui |
| 3 447 | non | oui | non | oui | non |
| 1 966 | oui | non | non | non | non |
| 755 | non | non | oui | non | non |
| 231 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 770 → 7 + 7 + 7 + 0 = 21 3 447 → 3 + 4 + 4 + 7 = 18 1 966 → 1 + 9 + 6 + 6 = 22
755 → 7 + 5 + 5 = 17 231 → 2 + 3 + 1 = 6
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 5 + 8 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 8 : 21
2 solutions : 582, 588.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 184 est un multiple de 6. » Faux. 184 = 6 × 30 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 57 − 5 × 4 = 57 − 20 = 37
B = 9 × 8 − 4 × 3 = 72 − 12 = 60
C = (4 + 2) × 2 − 12 = 6 × 2 − 12 = 12 − 12 = 0
D = [9 + 2 × (8 − 2)] ÷ 2 = [9 + 2 × 6] ÷ 2 = [9 + 12] ÷ 2 = 21 ÷ 2 = 10,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 2 × 7) × 9 = (8 + 14) × 9 = 22 × 9 = 198
3 × (9 × 5 + 8) = 3 × (45 + 8) = 3 × 53 = 159
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 48 × 45 + 48 × 55 = 48 × (45 + 55) = 48 × 100 = 4 800
F = 5 × 51 × 20 = 5 × 20 × 51 = 100 × 51 = 5 100
G = 38 × 99 = 38 × (100 − 1) = 38 × 100 − 38 × 1 = 3 800 − 38 = 3 762
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 4 × 4 × 4 = 4³ 7 × 7 = 7²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 3 × 6² = 18² » Faux. 3 × 6² = 3 × 36 = 108, alors que 18² = 324. Le carré ne porte que sur 6.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
31 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 31 < 36 = 6²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
121 = 11² : carré 122 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 122 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 4 = 4 × 4 − 4 = 16 − 4 = 12
B = (4 × 2)² − 4 = 8² − 4 = 64 − 4 = 60
C = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
D = (5 + 7)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : (x + 6)² = (3 + 6)² = 9² = 81
Pour x = 0,5 : (x + 6)² = (0,5 + 6)² = 6,5² = 42,25
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 7 petits cubes sur 7 : 7² = 7 × 7 = 49.
a) On voit 49 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 7 couches de 49 petits cubes : 7³ = 7 × 7 × 7 = 343.
b) Il a utilisé 343 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 7 − 2 = 5 petits cubes d'arête. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
c) 125 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 203 et 260. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 225, 256.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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