Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
B = (6 + 7)² = 13² = 169
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 × (19 − 12) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 19 et 12.
D = 15 + 24 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 15 et du quotient de 24 par 6.
E = (5 + 6)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 91 = 637 ≤ 640 < 644 = 7 × 92 : le quotient est 91, le reste 640 − 637 = 3.
640 = 7 × 91 + 3, avec 3 < 7.
27 × 55 = 1 485 ≤ 1 489 < 1 512 = 27 × 56 : le quotient est 55, le reste 1 489 − 1 485 = 4.
1 489 = 27 × 55 + 4, avec 4 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 195 = 11 × 17 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 195 = 11 × 16 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 195 = 11 × 18 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 17, reste 8.
Comme 8 < 17 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 195 par 17 : quotient 11, reste 8.
3. 55 = 12 × 4 + 7
4 minibus pleins transportent 48 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 7 = 5 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 425 | non | non | oui | non | non |
| 501 | non | oui | non | non | non |
| 1 004 | oui | non | non | non | non |
| 2 169 | non | oui | non | oui | non |
| 6 630 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
425 → 4 + 2 + 5 = 11 501 → 5 + 0 + 1 = 6 1 004 → 1 + 0 + 0 + 4 = 5
2 169 → 2 + 1 + 6 + 9 = 18 6 630 → 6 + 6 + 3 + 0 = 15
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 5 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 555.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 108, somme des chiffres 9.
« 3 est un diviseur de 34. » Faux. 34 = 3 × 11 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 83 − 2 × 5 = 83 − 10 = 73
B = 3 × 8 − 4 × 6 = 24 − 24 = 0
C = 74 − 4 × (17 − 2) = 74 − 4 × 15 = 74 − 60 = 14
D = [2 + 2 × (10 − 1)] ÷ 2 = [2 + 2 × 9] ÷ 2 = [2 + 18] ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 + 6 × (6 − 6) = 8 + 6 × 0 = 8 + 0 = 8
4 × (4 × 4 − 8) = 4 × (16 − 8) = 4 × 8 = 32
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 24 + 5,05 + 76 = 24 + 76 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
F = 37 × 59 − 37 × 49 = 37 × (59 − 49) = 37 × 10 = 370
G = 12 × 101 = 12 × (100 + 1) = 12 × 100 + 12 × 1 = 1 200 + 12 = 1 212
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 8 × 8 = 8² 2 × 2 × 2 = 2³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 44 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 44 < 49 = 7²)
81 = 9² : carré 111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 127 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 127 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 2 = 2 × 4 − 2 = 8 − 2 = 6
B = (2 × 2)² − 2 = 4² − 2 = 16 − 2 = 14
C = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
D = (3 + 5)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : (x + 2)² = (3 + 2)² = 5² = 25
Pour x = 0,5 : (x + 2)² = (0,5 + 2)² = 2,5² = 6,25
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 125 et 181. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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