Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 3)² = 7² = 49
B = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 13 + 64 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 13 et du quotient de 64 par 8.
D = (5 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 7.
E = (11 + 6) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 11 et 6 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 51 = 459 ≤ 467 < 468 = 9 × 52 : le quotient est 51, le reste 467 − 459 = 8.
467 = 9 × 51 + 8, avec 8 < 9.
18 × 51 = 918 ≤ 919 < 936 = 18 × 52 : le quotient est 51, le reste 919 − 918 = 1.
919 = 18 × 51 + 1, avec 1 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 460 = 13 × 35 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 13. ✔
(b) 460 = 13 × 34 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 460 = 13 × 36 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 35, reste 5.
Comme 5 < 35 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 460 par 35 : quotient 13, reste 5.
3. 138 = 12 × 11 + 6
En 11 soirs, elle lit 132 pages ; il lui en reste encore 6.
a) Il lui faut 11 + 1 = 12 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 6 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 865 | non | non | oui | non | non |
| 111 | non | oui | non | non | non |
| 7 880 | oui | non | oui | non | oui |
| 1 467 | non | oui | non | oui | non |
| 9 146 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
865 → 8 + 6 + 5 = 19 111 → 1 + 1 + 1 = 3 7 880 → 7 + 8 + 8 + 0 = 23
1 467 → 1 + 4 + 6 + 7 = 18 9 146 → 9 + 1 + 4 + 6 = 20
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 3 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6
Une seule solution : 330.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 7 est un diviseur de 147. » Vrai. 147 = 7 × 21 : le reste de la division de 147 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 65 − 5 × 3 = 65 − 15 = 50
B = 3 × 9 − 2 × 3 = 27 − 6 = 21
C = 86 − 4 × (11 − 7) = 86 − 4 × 4 = 86 − 16 = 70
D = 3 × [34 − (5 + 8)] = 3 × [34 − 13] = 3 × 21 = 63
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (4 + 8 + 7) = 3 × (12 + 7) = 3 × 19 = 57
6 + (9 + 5) × 8 = 6 + 14 × 8 = 6 + 112 = 118
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,7 + 4,5 × 0,3 = 4,5 × (0,7 + 0,3) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 33 + 12,6 + 67 = 33 + 67 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
G = 23 × 9 = 23 × (10 − 1) = 23 × 10 − 23 × 1 = 230 − 23 = 207
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 0,7 × 0,7 = 0,7² 3 × 3 × 3 = 3³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
14 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 14 < 16 = 4²) 21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²)
35 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 35 < 36 = 6²) 49 = 7² : carré
100 = 10² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 3 = 4 × 25 − 3 = 100 − 3 = 97
B = (4 × 5)² − 3 = 20² − 3 = 400 − 3 = 397
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 3 = 5 × 2² − 3 = 5 × 4 − 3 = 20 − 3 = 17
B = (5a)² − 3 = (5 × 2)² − 3 = 10² − 3 = 100 − 3 = 97
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 7 petits cubes sur 7 : 7² = 7 × 7 = 49.
a) On voit 49 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 7 couches de 49 petits cubes : 7³ = 7 × 7 × 7 = 343.
b) Il a utilisé 343 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 7 − 2 = 5 petits cubes d'arête. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
c) 125 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 253 et 294. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
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