Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 11 + 7 × 6 = 11 + 42 = 53
B = (11 + 7) × 6 = 18 × 6 = 108
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
D = 11 + 2 × 7 est une somme : c'est la somme de 11 et du produit de 2 par 7.
E = (5 + 7) × 5 est un produit : c'est le produit de la somme de 5 et 7 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 87 = 783 ≤ 785 < 792 = 9 × 88 : le quotient est 87, le reste 785 − 783 = 2.
785 = 9 × 87 + 2, avec 2 < 9.
22 × 87 = 1 914 ≤ 1 935 < 1 936 = 22 × 88 : le quotient est 87, le reste 1 935 − 1 914 = 21.
1 935 = 22 × 87 + 21, avec 21 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 310 = 8 × 39 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 310 = 8 × 38 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 310 = 8 × 37 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 38, reste 6.
Comme 6 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 310 par 38 : quotient 8, reste 6.
3. 285 = 7 × 40 + 5
a) 285 jours font 40 semaines complètes et 5 jours.
Après 40 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 5 jours : dimanche → lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi.
b) Dans 285 jours, nous serons vendredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 625 | non | non | oui | non | non |
| 5 476 | oui | non | non | non | non |
| 267 | non | oui | non | non | non |
| 9 459 | non | oui | non | oui | non |
| 2 730 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
625 → 6 + 2 + 5 = 13 5 476 → 5 + 4 + 7 + 6 = 22 267 → 2 + 6 + 7 = 15
9 459 → 9 + 4 + 5 + 9 = 27 2 730 → 2 + 7 + 3 + 0 = 12
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 7 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 3 : 15 ; □ = 6 : 18 ; □ = 9 : 21
4 solutions : 507, 537, 567, 597.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 810, somme des chiffres 9.
« 121 est un multiple de 7. » Faux. 121 = 7 × 17 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 5 + 2 × 5 = 5 + 10 = 15
B = 36 ÷ 4 × 5 = 9 × 5 = 45
C = (7 × 5 − 2) ÷ 2 = (35 − 2) ÷ 2 = 33 ÷ 2 = 16,5
D = [3 + 9 × (11 − 4)] ÷ 2 = [3 + 9 × 7] ÷ 2 = [3 + 63] ÷ 2 = 66 ÷ 2 = 33
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 − 7 + 8) × 4 = (2 + 8) × 4 = 10 × 4 = 40
7 × 7 × (6 − 6) = 7 × 7 × 0 = 49 × 0 = 0
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 15 × 101 = 15 × (100 + 1) = 15 × 100 + 15 × 1 = 1 500 + 15 = 1 515
F = 4 × 44 × 25 = 4 × 25 × 44 = 100 × 44 = 4 400
G = 36 × 76 + 36 × 24 = 36 × (76 + 24) = 36 × 100 = 3 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 11 × 11 = 11² 1,1 × 1,1 = 1,1² 4 × 4 × 4 = 4³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3 × 5² = 15² » Faux. 3 × 5² = 3 × 25 = 75, alors que 15² = 225. Le carré ne porte que sur 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
13 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 13 < 16 = 4²) 16 = 4² : carré
81 = 9² : carré 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 6 = 4 × 16 − 6 = 64 − 6 = 58
B = (4 × 4)² − 6 = 16² − 6 = 256 − 6 = 250
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 20 = 2² + 20 = 4 + 20 = 24 et 9x = 9 × 2 = 18.
24 ≠ 18 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Pour x = 5 : x² + 20 = 5² + 20 = 25 + 20 = 45 et 9x = 9 × 5 = 45.
45 = 45 : l'égalité est vraie pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 5 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 40 :
6² = 36 ≤ 40 et 7² = 49 > 40.
a) Elle mettra 6 dalles sur chaque côté.
40 − 36 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 165 et 220. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.