Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 3)² = 6² = 36
B = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 6² est un produit : c'est le double du carré de 6.
D = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
E = 4² + 1² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 133 = 798 ≤ 803 < 804 = 6 × 134 : le quotient est 133, le reste 803 − 798 = 5.
803 = 6 × 133 + 5, avec 5 < 6.
12 × 30 = 360 ≤ 367 < 372 = 12 × 31 : le quotient est 30, le reste 367 − 360 = 7.
367 = 12 × 30 + 7, avec 7 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 295 = 9 × 32 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 295 = 9 × 33 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 295 = 9 × 31 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 32, reste 7.
Comme 7 < 32 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 295 par 32 : quotient 9, reste 7.
3. 226 = 12 × 18 + 10, avec 10 < 12
a) Elle remplit 18 boîtes pleines.
b) Il reste 10 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 905 | non | non | oui | non | non |
| 2 070 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 8 613 | non | oui | non | oui | non |
| 7 694 | oui | non | non | non | non |
| 201 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
905 → 9 + 0 + 5 = 14 2 070 → 2 + 0 + 7 + 0 = 9 8 613 → 8 + 6 + 1 + 3 = 18
7 694 → 7 + 6 + 9 + 4 = 26 201 → 2 + 0 + 1 = 3
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 8 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 480.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 34 est pair mais 34 = 3 × 11 + 1.
« 8 est un diviseur de 137. » Faux. 137 = 8 × 17 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 79 − 3 × 4 = 79 − 12 = 67
B = 30 ÷ 5 × 4 = 6 × 4 = 24
C = (8 + 7) × 5 − 9 = 15 × 5 − 9 = 75 − 9 = 66
D = 5 × [31 − (2 + 7)] = 5 × [31 − 9] = 5 × 22 = 110
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 7 + 4) × 5 = (13 + 4) × 5 = 17 × 5 = 85
(5 − 2 + 2) × 5 = (3 + 2) × 5 = 5 × 5 = 25
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 63 × 125 = 8 × 125 × 63 = 1 000 × 63 = 63 000
F = 17 × 11 + 17 × 89 = 17 × (11 + 89) = 17 × 100 = 1 700
G = 24 × 9 = 24 × (10 − 1) = 24 × 10 − 24 × 1 = 240 − 24 = 216
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³ 6 × 6 = 6²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 58 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 58 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
117 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 117 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 7 = 4 × 36 − 7 = 144 − 7 = 137
B = (4 × 6)² − 7 = 24² − 7 = 576 − 7 = 569
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 2 = 5 × 2² − 2 = 5 × 4 − 2 = 20 − 2 = 18
B = (5a)² − 2 = (5 × 2)² − 2 = 10² − 2 = 100 − 2 = 98
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 57 et 111. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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