Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 5) × 2 = 9 × 2 = 18
B = 4 + 5 × 2 = 4 + 10 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6 × (5 − 3) est un produit : c'est le produit de 6 par la différence entre 5 et 3.
D = 6² − 30 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 30.
E = 9 + 3 × 5 est une somme : c'est la somme de 9 et du produit de 3 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 122 = 732 ≤ 736 < 738 = 6 × 123 : le quotient est 122, le reste 736 − 732 = 4.
736 = 6 × 122 + 4, avec 4 < 6.
15 × 30 = 450 ≤ 459 < 465 = 15 × 31 : le quotient est 30, le reste 459 − 450 = 9.
459 = 15 × 30 + 9, avec 9 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 524 = 13 × 39 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(b) 524 = 13 × 40 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 13. ✔
(c) 524 = 13 × 41 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 40, reste 4.
Comme 4 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 524 par 40 : quotient 13, reste 4.
3. 264 = 20 × 13 + 4
En 13 soirs, elle lit 260 pages ; il lui en reste encore 4.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 4 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 801 | non | oui | non | oui | non |
| 8 644 | oui | non | non | non | non |
| 2 720 | oui | non | oui | non | oui |
| 655 | non | non | oui | non | non |
| 831 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 801 → 9 + 8 + 0 + 1 = 18 8 644 → 8 + 6 + 4 + 4 = 22 2 720 → 2 + 7 + 2 + 0 = 11
655 → 6 + 5 + 5 = 16 831 → 8 + 3 + 1 = 12
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 9 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 15 ; □ = 4 : 18 ; □ = 7 : 21
3 solutions : 519, 549, 579.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 12 est divisible par 3 (12 = 3 × 4) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 8 est un diviseur de 147. » Faux. 147 = 8 × 18 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 49 − 4 + 13 = 45 + 13 = 58
B = 40 ÷ 8 × 4 = 5 × 4 = 20
C = (3 + 8) × 2 − 8 = 11 × 2 − 8 = 22 − 8 = 14
D = 5 × [28 − (7 + 7)] = 5 × [28 − 14] = 5 × 14 = 70
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (6 − 2) + 2 = 4 × 4 + 2 = 16 + 2 = 18
7 × (9 − 3) − 7 = 7 × 6 − 7 = 42 − 7 = 35
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,25 + 12,5 × 0,75 = 12,5 × (0,25 + 0,75) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 25 + 7,8 + 75 = 25 + 75 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 19 × 99 = 19 × (100 − 1) = 19 × 100 − 19 × 1 = 1 900 − 19 = 1 881
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 12 × 12 = 12² 1,1 × 1,1 = 1,1²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (1 + 3)² = 1² + 3² » Faux. (1 + 3)² = 4² = 16, alors que 1² + 3² = 1 + 9 = 10.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 33 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 33 < 36 = 6²)
34 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 34 < 36 = 6²) 46 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 46 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 81 = 9² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 1 = 5 × 36 − 1 = 180 − 1 = 179
B = (5 × 6)² − 1 = 30² − 1 = 900 − 1 = 899
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 7 = 5 × 2² − 7 = 5 × 4 − 7 = 20 − 7 = 13
B = (5x)² − 7 = (5 × 2)² − 7 = 10² − 7 = 100 − 7 = 93
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
5 × 5 = 25
a) Il faut 25 carreaux le long d'un côté.
25 rangées de 25 carreaux : 25² = 25 × 25 = 625
b) Il faut 625 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 157 et 204. » → encore 46 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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