Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 8² − 18 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 8 et 18.
D = (1 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 5.
E = (12 + 8) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 12 et 8 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 26 = 208 ≤ 210 < 216 = 8 × 27 : le quotient est 26, le reste 210 − 208 = 2.
210 = 8 × 26 + 2, avec 2 < 8.
16 × 87 = 1 392 ≤ 1 403 < 1 408 = 16 × 88 : le quotient est 87, le reste 1 403 − 1 392 = 11.
1 403 = 16 × 87 + 11, avec 11 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 509 = 14 × 37 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 509 = 14 × 36 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 509 = 14 × 35 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 36, reste 5.
Comme 5 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 509 par 36 : quotient 14, reste 5.
3. 189 = 6 × 31 + 3, avec 3 < 6
a) Elle remplit 31 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 258 | oui | non | non | non | non |
| 3 100 | oui | non | oui | non | oui |
| 775 | non | non | oui | non | non |
| 537 | non | oui | non | non | non |
| 1 881 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
2 258 → 2 + 2 + 5 + 8 = 17 3 100 → 3 + 1 + 0 + 0 = 4 775 → 7 + 7 + 5 = 19
537 → 5 + 3 + 7 = 15 1 881 → 1 + 8 + 8 + 1 = 18
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 4 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 3 : 9 ; □ = 6 : 12 ; □ = 9 : 15
4 solutions : 204, 234, 264, 294.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 936, somme des chiffres 18.
« 221 est un multiple de 9. » Faux. 221 = 9 × 24 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 4 × 5 = 22 + 20 = 42
B = 54 ÷ 6 × 4 = 9 × 4 = 36
C = (12 + 4) × 6 − 18 = 16 × 6 − 18 = 96 − 18 = 78
D = 3 × [39 − (6 + 3)] = 3 × [39 − 9] = 3 × 30 = 90
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (9 − 2) − 4 = 8 × 7 − 4 = 56 − 4 = 52
4 × (4 + 6 × 2) = 4 × (4 + 12) = 4 × 16 = 64
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 22 × 11 = 22 × (10 + 1) = 22 × 10 + 22 × 1 = 220 + 22 = 242
F = 1,5 × 0,25 + 1,5 × 0,75 = 1,5 × (0,25 + 0,75) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 77 + 7,8 + 23 = 77 + 23 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 10 × 10 = 10² 3 × 3 × 3 = 3³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (3 + 1)² = 3² + 1² » Faux. (3 + 1)² = 4² = 16, alors que 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 30 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 30 < 36 = 6²)
36 = 6² : carré 47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²)
115 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 115 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 4 = 4 × 36 − 4 = 144 − 4 = 140
B = (4 × 6)² − 4 = 24² − 4 = 576 − 4 = 572
C = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
D = (5 + 1)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 6 : n² + 6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42 et 7n = 7 × 6 = 42.
42 = 42 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Pour n = 3 : n² + 6 = 3² + 6 = 9 + 6 = 15 et 7n = 7 × 3 = 21.
15 ≠ 21 : l'égalité est fausse pour n = 3.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 6 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 161 :
12² = 144 ≤ 161 et 13² = 169 > 161.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
161 − 144 = 17
b) Il lui restera 17 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 151 et 207. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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