Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (16 − 2) × 4 = 14 × 4 = 56
B = 16 − 2 × 4 = 16 − 8 = 8
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
D = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
E = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 38 = 266 ≤ 271 < 273 = 7 × 39 : le quotient est 38, le reste 271 − 266 = 5.
271 = 7 × 38 + 5, avec 5 < 7.
24 × 42 = 1 008 ≤ 1 031 < 1 032 = 24 × 43 : le quotient est 42, le reste 1 031 − 1 008 = 23.
1 031 = 24 × 42 + 23, avec 23 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 425 = 14 × 29 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(b) 425 = 14 × 31 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 425 = 14 × 30 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 30, reste 5.
Comme 5 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 425 par 30 : quotient 14, reste 5.
3. 327 = 7 × 46 + 5
a) 327 jours font 46 semaines complètes et 5 jours.
Après 46 semaines complètes, on est de nouveau samedi. Il reste à avancer de 5 jours : samedi → dimanche → lundi → mardi → mercredi → jeudi.
b) Dans 327 jours, nous serons jeudi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 550 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 756 | oui | non | non | non | non |
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 3 699 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
6 550 → 6 + 5 + 5 + 0 = 16 7 756 → 7 + 7 + 5 + 6 = 25 325 → 3 + 2 + 5 = 10
627 → 6 + 2 + 7 = 15 3 699 → 3 + 6 + 9 + 9 = 27
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 2 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 12 ; □ = 4 : 15 ; □ = 7 : 18
3 solutions : 912, 942, 972.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 56 est pair mais 56 = 3 × 18 + 2.
« 167 est un multiple de 7. » Faux. 167 = 7 × 23 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 35 − 9 + 13 = 26 + 13 = 39
B = 4 ÷ 2 × 2 = 2 × 2 = 4
C = 72 − 3 × (15 − 4) = 72 − 3 × 11 = 72 − 33 = 39
D = [9 + 8 × (11 − 2)] ÷ 2 = [9 + 8 × 9] ÷ 2 = [9 + 72] ÷ 2 = 81 ÷ 2 = 40,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (3 + 9) − 4 = 5 × 12 − 4 = 60 − 4 = 56
(5 + 4 + 5) × 9 = (9 + 5) × 9 = 14 × 9 = 126
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 25 × 9 = 25 × (10 − 1) = 25 × 10 − 25 × 1 = 250 − 25 = 225
F = 5 × 67 × 20 = 5 × 20 × 67 = 100 × 67 = 6 700
G = 35 × 73 + 35 × 27 = 35 × (73 + 27) = 35 × 100 = 3 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 12 × 12 = 12² 4 × 4 × 4 = 4³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 4 × 3² = 12² » Faux. 4 × 3² = 4 × 9 = 36, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 3.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 37 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 37 < 49 = 7²)
54 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 54 < 64 = 8²) 62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²)
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 1 = 2 × 16 − 1 = 32 − 1 = 31
B = (2 × 4)² − 1 = 8² − 1 = 64 − 1 = 63
C = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
D = (5 + 6)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 8 = 2 × 5² − 8 = 2 × 25 − 8 = 50 − 8 = 42
B = (2a)² − 8 = (2 × 5)² − 8 = 10² − 8 = 100 − 8 = 92
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 158 et 214. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.