Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 6)² = 12² = 144
B = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
D = 58 − 6 × 7 est une différence : c'est la différence entre 58 et le produit de 6 par 7.
E = (6 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 75 = 375 ≤ 379 < 380 = 5 × 76 : le quotient est 75, le reste 379 − 375 = 4.
379 = 5 × 75 + 4, avec 4 < 5.
20 × 84 = 1 680 ≤ 1 689 < 1 700 = 20 × 85 : le quotient est 84, le reste 1 689 − 1 680 = 9.
1 689 = 20 × 84 + 9, avec 9 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 67 = 6 × 11 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 67 = 6 × 12 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 67 = 6 × 10 + 7 : le « reste » 7 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 11, reste 1.
Comme 1 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 67 par 11 : quotient 6, reste 1.
3. 242 = 7 × 34 + 4
a) 242 jours font 34 semaines complètes et 4 jours.
Après 34 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 4 jours : mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 242 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 578 | oui | non | non | non | non |
| 951 | non | oui | non | non | non |
| 415 | non | non | oui | non | non |
| 1 089 | non | oui | non | oui | non |
| 5 720 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
6 578 → 6 + 5 + 7 + 8 = 26 951 → 9 + 5 + 1 = 15 415 → 4 + 1 + 5 = 10
1 089 → 1 + 0 + 8 + 9 = 18 5 720 → 5 + 7 + 2 + 0 = 14
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 5 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 5 : 12 ; □ = 8 : 15
3 solutions : 225, 255, 285.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 21 est divisible par 3 (21 = 3 × 7) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 149 est un multiple de 7. » Faux. 149 = 7 × 21 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 41 − 4 × 2 = 41 − 8 = 33
B = 56 ÷ 7 × 2 = 8 × 2 = 16
C = 68 − 4 × (20 − 7) = 68 − 4 × 13 = 68 − 52 = 16
D = 6,8 + 3 × 1,5 = 6,8 + 4,5 = 11,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (8 − 3 − 4) = 4 × (5 − 4) = 4 × 1 = 4
2 × 2 × (8 + 9) = 2 × 2 × 17 = 4 × 17 = 68
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 14 × 9 = 14 × (10 − 1) = 14 × 10 − 14 × 1 = 140 − 14 = 126
F = 14 + 0,75 + 86 = 14 + 86 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 27 × 22 + 27 × 78 = 27 × (22 + 78) = 27 × 100 = 2 700
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 12 × 12 = 12² 1,5 × 1,5 = 1,5²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « (2 + 3)² = 2² + 3² » Faux. (2 + 3)² = 5² = 25, alors que 2² + 3² = 4 + 9 = 13.
« 3 × 6² = 18² » Faux. 3 × 6² = 3 × 36 = 108, alors que 18² = 324. Le carré ne porte que sur 6.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
31 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 31 < 36 = 6²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 2 = 3 × 36 − 2 = 108 − 2 = 106
B = (3 × 6)² − 2 = 18² − 2 = 324 − 2 = 322
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : a² + 5a = 4² + 5 × 4 = 16 + 5 × 4 = 16 + 20 = 36
Pour a = 0,5 : a² + 5a = 0,5² + 5 × 0,5 = 0,25 + 5 × 0,5 = 0,25 + 2,5 = 2,75
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 4² = π × 16 = 16π
a) L'aire exacte est 16π m².
16 × 3,14 = 50,24
b) L'aire vaut environ 50 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 4², et non (π × 4)². On élève 4 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 159 et 202. » → encore 42 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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