Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 14 + 12 ÷ 2 = 14 + 6 = 20
B = (14 + 12) ÷ 2 = 26 ÷ 2 = 13
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
D = (11 + 34) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 11 et 34 par 5.
E = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 150 = 900 ≤ 902 < 906 = 6 × 151 : le quotient est 150, le reste 902 − 900 = 2.
902 = 6 × 150 + 2, avec 2 < 6.
24 × 101 = 2 424 ≤ 2 444 < 2 448 = 24 × 102 : le quotient est 101, le reste 2 444 − 2 424 = 20.
2 444 = 24 × 101 + 20, avec 20 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 320 = 9 × 36 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 320 = 9 × 35 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 320 = 9 × 34 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 35, reste 5.
Comme 5 < 35 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 320 par 35 : quotient 9, reste 5.
3. 232 = 20 × 11 + 12
En 11 soirs, elle lit 220 pages ; il lui en reste encore 12.
a) Il lui faut 11 + 1 = 12 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 12 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 710 | oui | non | oui | non | oui |
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 7 676 | oui | non | non | non | non |
| 395 | non | non | oui | non | non |
| 1 791 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
3 710 → 3 + 7 + 1 + 0 = 11 627 → 6 + 2 + 7 = 15 7 676 → 7 + 6 + 7 + 6 = 26
395 → 3 + 9 + 5 = 17 1 791 → 1 + 7 + 9 + 1 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 6 + 6 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 660.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 33 est divisible par 3 (33 = 3 × 11) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 150 est un multiple de 5. » Vrai. 150 = 5 × 30 : le reste de la division de 150 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 12 + 5 × 9 = 12 + 45 = 57
B = 45 ÷ 9 × 3 = 5 × 3 = 15
C = 61 − 4 × (12 − 4) = 61 − 4 × 8 = 61 − 32 = 29
D = 5 × [21 − (9 + 6)] = 5 × [21 − 15] = 5 × 6 = 30
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × 5 − (8 − 5) = 5 × 5 − 3 = 25 − 3 = 22
(7 + 8) × 9 + 6 = 15 × 9 + 6 = 135 + 6 = 141
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 0,25 + 2,7 × 0,75 = 2,7 × (0,25 + 0,75) = 2,7 × 1 = 2,7
F = 8 × 37 × 125 = 8 × 125 × 37 = 1 000 × 37 = 37 000
G = 15 × 99 = 15 × (100 − 1) = 15 × 100 − 15 × 1 = 1 500 − 15 = 1 485
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 12 × 12 = 12²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
125 = 5³ : cube 147 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 147 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 6 = 5 × 9 − 6 = 45 − 6 = 39
B = (5 × 3)² − 6 = 15² − 6 = 225 − 6 = 219
C = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
D = (2 + 4)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 12 = 2² + 12 = 4 + 12 = 16 et 8n = 8 × 2 = 16.
16 = 16 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Pour n = 5 : n² + 12 = 5² + 12 = 25 + 12 = 37 et 8n = 8 × 5 = 40.
37 ≠ 40 : l'égalité est fausse pour n = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 6, et seulement pour 2 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 29 :
5² = 25 ≤ 29 et 6² = 36 > 29.
a) Elle mettra 5 dalles sur chaque côté.
29 − 25 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 18 et 62. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 25, 49.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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